数学的证明有所谓的存在型及建构型两类。譬如要证明任何两个正整数a、b都有最大公约数，我们可以这么证：考虑型如ax + by的整数，其中x、y为任意的整数。设d = ax 0 + by 0为{ ax + by }中最小的正数；这样的d一定存在，而且它就是a、b两数的最大公约数 注1 。这是一个存在型的证明：d虽然是存在的，但如果a=10 11 +1 , b =10 21 +1，这个证明却无法告诉我们d到底是多少。
在《原本》中，欧几里得用的是辗转相除求最大公约数的方法，它不但告诉我们两个正整数一定有最大公约数，而且告诉我们怎样去找。这是建构型的证明。
其实，在《原本》中，欧几里得已经会使用存在型的证明。他说质数有无穷个；假设不然，设 为所有的质数。考虑 
这个数，它的质因数一定不是p i，因为p i除m都除不尽。所以 为所有的质数这样的假定是错的，所以质数有无穷个。在这个证明过程中，欧几里得并没有把无穷个质数造出来给你看，所以这是存在型的证明。其实只要稍加修改，上述的证明就可以变成建构型的：假定我们已经找到n个质数 ，则将 这个数分解，所得的质因数一定和p i不同，所以我们可以找到第n +1个质数。依建构型的观点，这种潜在的无穷方法是可以接受的。
虽然欧几里得已经使用了存在型的证明，但希腊以降直到十八世纪为止，数学证明几乎都是建构型的，这大概和希腊的数学以尺规作图实际能建构者为限有关。譬如用尺规作图无法作出一角的三等分线，所以有关三等分线的性质就少有人研究。到了十九世纪，从Gauss 代数基本定理的存在型证明（见科学月刊第十六卷第一期本栏）开始，这一类型的证明就愈来愈普遍。
十九世纪下半有所谓的代数不变量论。譬如将二次三项式ax 2 + bxy + cy 2施以线性变换
而得 a ' x ' 2 + 2 b ' x ' y '+ c ' y ' 2，则判别式b 2 - ac（= b ' 2 - a ' c '）是个不变量。一般而言，将某种形式的多项式施以某种变换可得许多不变量。在这许多不变量中想找出一组有限个基本不变量，使得其他的不变量都能由这些基本不变量表出，这是当时代数不变量论的最主要课题。于是每换一种形式的多项式或一种变换，数学家就努力寻找相对的基本不变量。所以代数不变量论就热闹了好一阵子。想不到，到了1888年，Hilbert却 ??一口气把这个问题在形式上解决了。但解决的方法很奇怪：他证明在任何情形下，一组有限个基本不变量一定是存在的；可是这个证明却无法告诉我们怎么找。这是存在型的证明。它的出现，使不变量的研究意态阑珊，不久就宣告死亡。难怪当时的不变量大王Gordan忍不住说：“这种证明不是数学，它是神学！”
的确，少数一些数学家对于存在型的数学很是反感，尤其是当集合论兴起，引出许多矛盾的问题。他们认为只是存在而不知在那儿的，就不该算是数学的实体；当集合的滥用引出许多矛盾之后，更有一派数学家极力主张惟有建构型的实体、建构型的证明才能接受。他们找出存在型的“祸根”，包括无穷集合论、逻辑上的矛盾证法及排中律，这些统统在排除之列。
建构学派的基本观点是这样的：自然数是一切数学的出发点，凡是能从自然数一步一步建构出来的（不能用存在型的方法）才算是数学的实体。实数整体由此不可得，不能做为研究的对象。其他的无穷元集合也一样，都在排除之列，除非是像自然数1,2,3 ……那样的潜在的无穷。所以建构学派否定无穷，这是大部分数学家所不能接受的，尤其是Zermelo、Fraenkel、von Neumann等人修订了集合论公理之后，集合论一方面足够导出传统的分析学内容，另一方面也免除了集合论滥用所引起的许多矛盾；否定无穷，就使数学园地大为缩小。Hilbert说：“没有人能够把我们从Cantor（集合论的发明者）为我们建造的乐园中赶出去。”大部分的数学家都会同意这样的看法。
在“质数无穷多”的证明中，欧几里得先假设质数个数有限，然后导出质数个数不是有限的结果。根据“一个叙述及其否定不能同时为真”的逻辑原理，质数个数有限的假定错了，这是所谓的（归于）矛盾（的）证法。从“质数个数有限的假定错了”推到“质数个数无穷”，则要用排中律，它说：一个叙述及其否定两者之中有一要为真。虽然矛盾证法与排中律我们是那么熟悉，对数学的证明是那么有用，但它们确实是许多存在型证明的根源。如果坚持建构型的证明，那么也只好忍痛割爱了。
当然，矛盾证法与排中律是那么可爱，大部分的数学家爱用都来不及，当然不会附和建构学派的主张。因此二十世纪数学的特色之一，仍然是存在型的证明大行其道。其实就建构的观点而言，存在型的证明也有其用处。譬如，根据存在型的证明，二次常微分方程式y "=- y的解为二维的线性组合。当我们知道，, 是两个线性无关的解后，存在型的证明告诉我们： 是所有可能的解──这正是建构型证明所要的。
二十世纪中叶以来，电脑科学兴起。电脑注重的是算则(algorithm)──一步一步的计算步骤，因此存在型的证明就与电脑计算联不上关系，惟有建构型的证明才为电脑所欢迎。于是建构型的数学又渐渐抬头，不少人找出从前用存在型证明证过的定理，想办法重新用建构型??的方法证明。甚至只刊登建构型证明的杂志也都出现了。虽然如此，电脑计算总有容量的限制，想知道误差有多少，却往往需要存在型数学的帮忙。电脑只能说不愿意臣属于存在型的数学，但还是欢迎它的拔刀相助的。
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