随机赛程的最佳策略
萧正堂
引言
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
问题
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恒为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
本文
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们采用的方法， 这些方法所以较常采用，泰半是由于直觉上认为它们可被采行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会采用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以“＋”表甲赢，以“－”表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为
。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为
（q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
,
,
。
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
最后设某甲采极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当
时，三者之值皆为
；而当
时，三者之值依序为
、
、
；至于当
时，则其值依序为
、
、
。 这些数值告诉我们，当
时，三种下注法没影响甲赢的机会；当
时，则以保守法较好；当
时，却以极端法最佳，保守法最差。
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中
代表当甲有 i 元时会赢的机率。
情况一：
此时不论甲如何下注，
恒等于 c/(m+c)。
情况二：
此时不论甲如何下注，
，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为
。
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论， 然后再进一步研究整个问题。
如同以前，
代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，
，
，而
为我们最早所想求得之机率。
情况一：
假定某甲现有 i 元，那么有
的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为
。由于，
、
，得 a=0、
。因此
，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
情况二：
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特采用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
两边相加，并利用
、
，得
若取前 c 项相加，则得
情况三：
仿二之解法，可求得
保守法的
已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的
为最大； 而在情况三时，反以保守下注法的
为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法，
皆一样。
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。 若将“=”改为“
”，则结论亦真。
此定理在机率学上，即著名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿“=”的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在“
”的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等，
， 所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但
=
， 所以知不论以何种方法，
。
至于在情况二或三时，我们取
。此时若给定 Sn，则
其中
为所下注之金额。利用
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则
。所以由定理知
。 但
因此可得在情况二，
时，
而在情况三，
时，
但
为采用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的
为最大；但在情况三时，却以保守法的
为最小。
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
附录
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题， 比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当
时为 T=cm，当
时为
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。
