条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
一、背景
一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的.
[例1] 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为) 自然是.
[例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率.
这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为
对于例1,已知
容易验证在发生的条件下,发生的概率
对于例2,已知
容易验证发生的条件下,发生的概率
对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率,
总是成立的.
在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时发生的概率为
由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立.
其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义.
二、条件概率
若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称
为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率.
[例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率
解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为
={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)}
={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)}
={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)}
由条件概率公式得,
[例4] 一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率?(假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的)
解:据题意样本空间为
={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)}
={已知有一个是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}
={另一个小孩也是女孩}={(女,女)}
于是,所求概率为
三、条件概率的性质
(1)非负性:对任意的
(2)规范性:
(3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有
证明:(1) 因为所以
(2)由于,所以
(3)由于两两不相交,所以也必然两两不相交,所以
四、乘法公式
由条件概率的定义知: 设,则.于是,
这就是概率的乘法公式.
如果,同样有
设且则
证明 因为,依条件概率的定义,上式的右边
五、乘法公式的应用例子
[例5] 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破, 第二次落下时打破的概率为7/10, 若前两次时未打破, 第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.
解:以表示事件“透镜第次落下时打破”,以表示事件“透镜三次落下而未打破”. 因为,故有
[例6] 设袋中装有只红球,只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.
解:以表示事件“第次取到红球”,分别表示事件第三、四次取到白球.所求概率为
[例7] (卜里耶模型)罐中有只黑球,只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出的球同色之球只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出现黑球,后面次出现红球概率是多少?
解:以表示事件“第k次取到黑球”, 表示事件“第次取到红球”,则
由一般乘法公式,
1. 在例7中,最后答案与黑球和红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关.
2.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型.
当时,它是有放回的摸球模型.
当时,它是不放回的摸球模型.
思考题: 在卜里耶模型中,取次,问正好出现次红球概率是多少?
[例8] 一批产品共100件,对其进行抽样调查,整批产品看作不合格的规定是:在被检查的5件产品中至少有一件是废品.如果在该批产品中有5%是废品,试问该批产品被拒绝接收的概率是多少?
解:设表示被检查的第件产品是正品.表示该批产品被接收.则且
因此, 该批产品被拒绝接收的概率是0.23。
作业:
P55 EX 29,30,31
六、全概率公式
设是两个事件,那么可以表示为
显然,,如果则
[例1] 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出的红球的概率是多少?
解:令 :最后从2号箱中取出的是红球;
:从1号箱中取出的是红球.
则
由上面的公式,
上例采用的方法是概率论中颇为常用的方法,为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件之并,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率可加性,得到最终结果,这一方法的一般化就是所谓的全概率公式.
设为试验的样本空间,为的事件,为的一组事件.若
(1)
(2)
则称为样本空间的一个分割.
若为样本空间的一个分割,那么,对每一次试验,事件必有一个且仅有一个发生.
[例2] 设试验为“掷一颗骰子观察其点数”.它的样本空间.的一组事件是样本空间的一个分割.而事件组不是样本空间的一个分割,因为
[例3] 甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设样本空间={无人命中飞机,一人命中飞机,二人命中飞机,全命中}.的一组事件={三人以下命中飞机},={全命中飞机}是样本空间的一个分割.
设试验E的样本空间,为的事件, 为的一个分割,且 ,则
上式被称为全概率公式.
证明: ,所以
由假设,且所以
由条件概率公式,得
代入上式,即得
[例4] 甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4,0.5,0.7.又设若只有一人射中,飞机坠落的概率为0.2,若有二人射中,飞机坠落的概率为0.6,若有三人射中, 飞机必坠落.求飞机坠落的概率.
解:记={飞机坠落},={个人射中飞机},
=(甲射中,乙丙未射中)+(乙射中,甲丙未射中)+(丙射中,甲乙未射中)
再由题设,
利用全概率公式,
[例5] 播种用的小麦种子混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子,用一等、二等、三等、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.
解: 设={从这批种子任选一颗种子是等种子}, .
={从这批种子任选一颗,所结出的麦穗含有50颗麦粒以上}
则
由全概率公式
在例题5中, ,这对于农业技术人员来说,这个数据是重要的,但对育种专家来说,仅有这个数据是不够的.因为他们更感兴趣的是下面的问题.
[例6] 在例题5中,问由这批所结出的含有50颗麦粒以上麦穗中是一等、二等种子长出的概率.
解:
在上面的计算中,事实上建立了一个著名的公式——Bayes公式.
七、贝叶斯公式
设试验的样本空间,为的事件, 为的一个分割,且 ,则
上式称为贝叶斯公式.
证明:由条件概率,知
和全概率公式
[例7] 某电子设备厂所用的元件是由三家元件厂提供的,根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志.
(1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率.
(2) 在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此品由三个厂家生产的概率是多少?
解:设取到的元件是次品,表示取到的元件是由第个厂家生产的.
(1)由全概率公式,
(2) 由贝叶斯公式,
以上结果表明,这只产品来自第2家工厂的可能性最大.
八、贝叶斯方法
从这道题中我们看出，“取一个元件”是进行一个试验,那么是在试验以前就已经知道的,所以习惯地称它们为先验概率.实际上它是过去已经掌握的生产情况的反映,对试验要出现的结果提供了一定的信息.
在这个例子中,试验结果出现次品,这时条件概率反映了在试验以后,对A发生的来源的各种可能性的大小,通常称为后验概率.
如果是病人可能患的n种疾病,在诊断以前先检验与这些疾病有关的某些指标(如体温,血压,白血球等),若病人的某些指标偏离正常值,要问病人患的是哪一种疾病,从概率论的角度考虑,若较大,而为了计算 ,就可以利用上述的贝叶斯公式,并把由过去的病例中得到的先验概率值代入,也就是医学上所说的发病率,人们常常喜欢找有经验的医生给自己治病,因为过去的经验能帮助医生作出比较准确的诊断,能够更好地做到对症下药,而贝叶斯公式正是利用了经验的知识,由此,读者可以直觉地认识到这个公式的意义.也正因如此,这类方法在过去和现在,都受到人们的普遍重视,并称为贝叶斯方法.
[例8] 用甲胎蛋白法普查肝癌,令
={被检验者患肝癌}
={甲胎蛋白检验呈阳性}
{被检验者未患肝癌}
{甲胎蛋白检验呈阴性}
由资料已知,,又已知某地居民的肝癌发病率,在普查中查出一批甲胎蛋白检验呈阳性的人,求这批人中真的患肝癌的概率.
解:由贝叶斯公式可得,
由此可见,经甲胎蛋白检验呈阳性的人群中,其中真正患肝癌的人还是很少的,只占0.0038,把与对比一下是很有意思的.当已知病人患肝癌或未患肝癌时, 甲胎蛋白检验的准确性应该说是比较高的,这从可以肯定这一点.但如果病人患肝癌或未患肝癌时,而要从甲胎蛋白检验结果是否为阳性这一事件出发,来判断病人是否患肝癌,那么它的准确性还是很低的,因为 .这个问题看来似乎有点矛盾.一种检验方法准确性很高,但实际使用时准确性很低,到底是怎么一回事?
从上述计算中用到的贝叶斯公式,可以得到解释.已知是不大的,但是患肝癌的人数毕竟很少, ,这就使得相对很大,从而很小.那么,上述结果是不是说明甲胎蛋白检验法不能用了呢?完全不是!通常医生总是先采取一些其它简单易行的辅助方法进行检查,当他怀疑某个对象有可能患肝癌时,才建议用甲胎蛋白检验法.这时, 肝癌的发病率已经显著地增加了.比方说,在被怀疑的对象中,这时,这就有相当的准确性了.
