#一元一次方程##初中数学##一元一次方程的应用#
常考类型如下:
1.和差倍分比问题;2.数字问题;3.盈亏问题;4.利息问题;5.工程问题;6.行程问题;7配套问题;8.方案问题;9.分配问题;10.有规律的相邻数问题;11.比赛记分问题;12.连比问题。
本文重点:运用一元一次方程分析解决数学实际问题,能够从具体问题中抽象出数量关系,建立一元一次方程模型,在解决问题中体会从算式到方程的数学之美。
先来看知识要点
在介绍类型前,先来理解下列方程解应用题的一般步骤:
1.审题:分析题中的条件,什么是所求的,什么是已知的,并了解已知量和所求量之间的数量关系;
2.设未知数(元):一般求什么就设什么为未知数,但有时也可以间接设未知数;
3.列方程:找到等量关系,列出方程。初中阶段,应用题主要考察两种模型:一种是加法模型,另外一种是乘法模型。根据题目做具体的分析即可;同时注意方程两边是同一类量,单位要统一。
4.解方程;
5.检验并作答:“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,舍去。
一.和、差、倍、分比问题
(1)基本量及关系:增长量=原有量×增长率;现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.
(2)寻找相等关系:抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等。
✅来看典型例题:
二.数字问题
1.已知各数位上的数字或它们之间的关系,求两位数,三位数等这类问题称之为数字问题。
2.数字问题一般涉及到位值原理,特别注意设的方法。
例如:若一个两位数的个位数字为a,十位数字为b,则这个两位数可以表示为10b+a;
若一个数的个位数为a,十位数为b,百位数为c,则这个三位数可表示为:100c+10b+a;
以此类推。
✅来看典型例题:
三.盈亏/利润问题
主要等量关系如下:
1.售价=成本(或进价)×(1+利润率)
2.实际售价=标价×打折率
3. 利润=售价-成本(或进价)=成本×利润率
注意‼️
1.“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;当右边为负时,就是亏损;
2.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
✅来看典型例题:
四.利息问题
主要等量关系如下:
1.利息=本金×利率×期数
2.本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数)
3.实得利息=利息-利息税
4.利息税=利息×利息税率
5.年利率=月利率×12
6.月利率=年利率×1/12
✅来看典型例题:
五.工程问题
如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式如下:
1.工作总量=工作效率×工作时间;
2.总工作量=各单位工作量之和。
✅来看典型例题:
六.行程问题
1.基本量间的关系:路程=速度×时间
2.基本类型有:
(1)相遇问题(或相向问题):相遇路程=速度和×相遇时间;甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
(2)追及问题:追及路程=速度差×追及时间
注意‼️1.同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;2.同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.
(3)航行问题:顺流速度=静水速度+水流速度;逆流速度=静水速度-水流速度,顺水速度-逆水速度=2×水速;
注意‼️1.抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.2.画线段图来分析形成问题。
✅来看典型例题:
七.配套问题
抓住一个关键点:根据各个产品数量之间的比例/倍数等关系建立等量关系。
✅来看例题:
【例31】某车间有27个工人,生产甲、乙两种零件,每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套,已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个,为使每天生产的两种零件配套,应如何安排工人的生产任务?
解:设x人生产甲种零件,则有(27-x)人生产乙种零件,根据题意,列方程得:2.12x=3.16(27-x).
重点‼️抓“每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套”(即甲种零件数目:乙种零件数目=3:2),找出题中存在的等量关系,列出相应的方程即可。
八.方案问题
一般是从几种方案中,选择最佳方案。
注意‼️方案选择的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
✅来看典型例题:
九.分配问题
这类问题中往往有两个不变量:一般是参与分配的人数和被分配的物品数量,抓住这两个不变量,用不同的代数式表示不同的分配方式,然后利用总数相等建立等量关系即可。
十.有规律的相邻数问题
1.熟悉一些常用的表示:例如n可以表示任意整数,那么三个连续的整数可以表示为n-1,n,n+1或者n,n+1,n+2等形式;偶数常用2n表示,奇数常用2n+1或2n-1表示。
2.如果是有一定规律的数列,找到这列数字的规律,列方程求解即可。
十一.比赛记分问题
根据比赛规则列方程即可。
十二.连比问题
关键是学会设的方法
✅最后来看练习题,及时巩固:
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