初中数学 【构造辅助线】4种方法

今天给大家整理了：初中数学【构造辅助线】4种常用方法。

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1、关于角平分线的辅助线

当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法：

(1)截取构全等

如图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

(2)角分线上点向角两边作垂线构全等

利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。

则有：DE=DF，△OED≌△OFD。

(3)作角平分线的垂线构造等腰三角形

如图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF，使之与角的另一边OA相交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。

(4)作平行线构造等腰三角形

作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：

①如下左图所示，过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。

②如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH。

2、由线段和差想到的辅助线

(1)遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

①截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

截长补短法作辅助线：

例题：在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。

(2)对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

例题：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE、

(3)在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。

分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置。

证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，

∴∠BDC＞∠BAC

证法二：连接AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：∠BDC＞∠BAC。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

3、由中点想到的辅助线

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

(1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

(2)倍长中线

已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。

例题： 如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．

4、其他辅助线做法

(1)延长已知边构造三角形

在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．

例题：如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．

(2)连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

(3)连接已知点，构造全等三角形

例题：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

(4)取线段中点构造全等三角形

例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。

分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。

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