数学里的自然底数e是怎么来的？

自然常数由18世纪的大数学家欧拉推广开来，所以这个数又被称为欧拉数，用字母e表示。e在数学中非常重要，通常会用到以e为底的对数，所以这个数又被称为自然底数。

自然常数e源自银行对复利的计算。假如你有1元钱存在银行里，银行的年利率为100%。那么，在一年后，你的资产将变为(1+1)^1元=2元。如果银行换一种利息计算方式，半年结算一次利息，并且半年利率为50%。那么，在一年后，你的资产将变为(1+0.5)^2元=2.25元。如果是每个月结算一次利息，并且月利率为1/12。那么，在一年后，你的资产将变为(1+1/12)^12元=2.61元。如果是每天结算一次利息，并且天利率为1/365。那么，在一年后（不考虑闰年），你的资产将变为(1+1/365)^365元=2.71元。

可以看到，利息的结算周期越短，最终回报越多。观察规律可得，这种利息的计算通式为(1+1/n)^n。既然利息结算周期越短收益越多，那么，如果每时每刻都在结算利息，即n趋于无穷大，最终的收益会是多少？也会变得无穷大吗？

事实上，当n趋于无穷大时，(1+1/n)^n等于一个常数，其大小为2.7182818284…。于是，人们就把这个常数定义为自然常数。数学家证明，自然常数是一个无理数，同时也是一个超越数（不能用整系数代数方程来表示的实数）。根据上述结果，e的表达式可写成：

此外，e还可以用无穷级数表示：

项数取得越多，越接近e的真实数值。

虽然自然常数没有圆周率广为人知，但它实际也被应用于诸多问题，例如，生长或衰变速率、概率问题、质数分布等等。很多自然变化规律都是遵循以自然常数为底的指数函数，正因为如此，这个数被冠之以“自然常数”。