联盟荐文|几何明珠之梅内劳斯定理

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“初中数学解法研究”公众平台以一些典型问题为载体，从一题多解、多解归因和思维调控等角度，探索解题中的巧法、通法以及方法的思路来源等，希望帮助读者开阔思路、优化解法和提高解题效率，也希望能得到您的指点！

前言

       在几何学发展的历史长河中，许多经久不衰的平面几何定理，犹如一颗颗闪烁的明珠，璀璨夺目，光彩耀人，今天在本平台上简单介绍一下“梅内劳斯定理”证明方法！

      梅内劳斯（Menelaus）出生于古希腊的亚历山大城，是古希腊伟大的数学家，他至少写过三本著作《论圆中弦》、《几何原理》、《球面学》，但遗憾的是只有《球面学》以阿拉伯文形式流传下来，“梅内劳斯定理”就来自这本书的第三卷也是最后一卷，这本书完成时间约公元100年。

     我们现在所说的“梅内劳斯定理”主要是指平面三角形的“梅内劳斯定理”，梅内劳斯本人把它推广到球面上，详细可参阅Victor J.Katz所著的《数学史通论》（第二版），有兴趣的读者可以进一步研究。

梅内劳斯定理

梅内劳斯定理：一条直线分别截△ABC三边BC、AC、AB及延长线于点D、E、F，则有：

AF/FB*BD/DC*CE/EA=1

本定理的逆命题也正确，证明也比较简单，这里就不做说明，读者可以阅读黄家礼老师的《几何明珠》或者张奠宙教授的《中学几何研究》，上面有详细记载。下面想着重解释这个定理的证明方法。

分析

首先观察一下等式的特征：在等式：

“AF/FB*BD/DC*CE/EA=1”的左边是三组线段的比，右边是常数1，于是思考：如何构造与左边线段比相关的比例式？构造比例式的通常方法是作平行线，形成A字形、8字形，进而实现比例线段的转化。但是问题又来了，从A、B、C、D、E、F中哪一个点引出平行线比较恰当？

思路一：作平行线构造结论比例式直接相关的图形

视角1

过点C作CG//DF交AB于点G，构造与CE/AE和BD/CD直接相关的两个基本图形，则

BD/DC=BF/GF,CE/AE=GF/AF

所以AF/FB*BD/DC*CE/EA=AF/FB* BF/GF* GF/AF=1。

类似也可以这样构造

视角2

过点C作CG//AB交FD于点G，则

a/b*d/x*e/f=a/b*b/CG*CG/a=1。

视角3

过点A作AG//DB交FD于点G，则

a/b*d/x*e/f=AG/d*d/x*x/AG=1。

视角4

过点A作AG//FD交BD于点G，则

a/b*d/x*e/f=DG/d*d/x*x/DG=1。

总结：上面的四种构造A或8字形都有一个共同的特征：直接构造与结论相关的比例式， a/b、d/x、e/f中有两个比例式都能实现直接转化，结论可迅速得到证明！但是，如果所构造的基本图形不能直接转化，那么证明就会变得繁琐，但也总是可以解决，这时不妨用字母改造条件，最终建立一个只含有a、b、x、d、e、f这六条线段的方程，问题就应该得证！见视角5：

视角5

其实过A、B、C、D、E、F任意一点都可以作两条平行线，共有12种不同的算法。以下添线方式有兴趣的读者可以尝试证明一下。

视角6-12

分析

能不能将a/b、d/x、e/f中三个比例式都能实现直接的比例线段转化？当然是可行的，见视角13和视角14：

视角13

分别过A、B、C作BK//AL//CM(当然也可以过三点作截线的垂线)则有a:b=h:g,d:x=g:k,e:f=k:h,所以a/b*d/x*e/f=h/g*g/k*k/h=1。

视角14

分别过A、B、C作AO//FD//CP//BN则有a:b=g:(k h),d:x=(h k):k,e:f=k:g,所以a/b*d/x*e/f=1。

分析

关于比例线段的问题还有一种常规的想法，可以通过面积实现转化。

思路二：面积法

视角1

如图：a:b=S5:(S4 S3),d:x=(S4 S3):S4,e:f=S4:S5

所以a/b*d/x*e/f=1。

视角2

如图：a:b=(S1 S5):(S2 S4 S3),d:x= (S2 S4 S3): (S4 S2),e:f=(S2 S4):(S1 S5)

所以a/b*d/x*e/f=1。

总结：上述的两种方法通过面积巧妙的转化了线段的比，用到了共边定理，关于这类方法有兴趣的读者可阅读张景中和彭翕成所著的《仁者无敌面积法》一书。下面简单介绍一下张景中院士的消点法：

视角3：

本题可以看成任取平面内三个点A、B、C，再任取X、Y，D、E、F是直线XY与BC、AC、AB相交而得。D、E、F后产生的点先消去，应用共边定理可得：a:b=S△AXY: S△BXY(消去F),d:x= S△BXY: S△CXY(消去D),e:f= S△CXY: S△AXY(消去E). 所以a/b*d/x*e/f=1.消点法是张景中院士所创，在几何机器证明中有广泛的应用，详细请读者阅读张景中院士的《几何新方法和新体系》等相关书籍。

梅内劳斯定理在中考和竞赛中都有着广泛的应用，有时可以说“一招制胜”。2010年上海中考25题（2），数据如下图，求∠BPD的正切值。

下面是用“梅内劳斯定理”瞬间化解问题!

结束语

梅内劳斯定理还有两种角元的表达方式，也可推广到n边形，详细可参见沈文选的《几何瑰宝》。在梅氏定理发现后，又过了约1600年，意大利几何学家赛瓦（Ceva）在梅氏定理的基础上又发现了“塞瓦定理”，可以说“梅内劳斯定理”和“赛瓦定理”是两兄弟，是平面几何中两颗耀眼的明珠。

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