【例题】已知:数轴上点A表示的数是8,点B表示的数是﹣4.动点P从点A出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动,动点Q从点B出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动.P,Q两点同时出发.
(1)经过多长时间,点P位于点Q左侧2个单位长度?
(2)在点P运动的过程中,若点M是AP的中点,点N是BP的中点,求线段MN的长度.
【分析】(1)结合数轴,根据题意可列出相应的等式;
(2)结合数轴,根据题意用式子表示出点M和点N表示的数,进一步可求MN的长.
【解答】(1)设经过t秒,点P位于点Q左侧2个单位长度,依题意,得
6t-[4t+8-(-4)]=2,解得t=7.
答:经过7秒,点P位于点Q左侧2个单位长度;
(2)依题意,得经过时间t,点P表示的数为8﹣6t,
∵点M是AP的中点,点N是BP的中点,
∴点M表示的数是8-3t.点N表示的数是2-3t,
∴MN=|(8﹣3t)﹣(2﹣3t)|=|8﹣3t﹣2+3t|=6,
即线段MN的长度是6.
【拓展1】如图,在数轴上,点A表示﹣10,点B表示11,点C表示18.动点P从点A出发,沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动;同时,动点Q从点C出发,沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,P、Q两点相遇?相遇点M所对应的数是多少?
(2)在点Q出发后到达点B之前,求t为何值时,点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等;
(3)在点P向右运动的过程中,N是AP的中点,在点P到达点C之前,求2CN﹣PC的值.
【解答】(1)根据题意得2t+t=28,解得t=28/3,∴AM=56/3>10,
∴M在O的右侧,且OM=563﹣10=26/3,
∴当t=28/3时,P、Q两点相遇,相遇点M所对应的数是26/3;
(2)由题意得,t的值大于0且小于7.
若点P在点O的左边,则10﹣2t=7﹣t,解得t=3.
若点P在点O的右边,则2t﹣10=7﹣t,解得t=17/3.
综上所述,t的值为3或时,点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等;
(3)∵N是AP的中点,
∴AN=PN=0.5AP=t,
∴CN=AC﹣AN=28﹣t,
PC=28﹣AP=28﹣2t,
2CN-PC=2(28-t)-(28-2t)=28.
【拓展2】如图,在数轴上有A,B两点,所表示的数分别为﹣10,﹣4,点A以每秒5个单位长度的速度向右运动,同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动,如果设运动时间为t秒,解答下列问题:
(1)运动前线段AB的长为 ; 运动1秒后线段AB的长为 ;
(2)运动t秒后,点A,点B运动的距离分别为 和 ;
(3)求t为何值时,点A与点B恰好重合;
(4)在上述运动的过程中,是否存在某一时刻t,使得线段AB的长为5,若存在,求t的值; 若不存在,请说明理由.
【解答】(1)AB=6,运动1秒后,A表示﹣5,B表示﹣1,∴AB=﹣1+5=4;
(2)运动t秒后,点A,点B运动的距离分别为5t,3t,故答案为5t,3t.
(3)依题意,得(5﹣3)t=6,∴t=3.
(4)依题意,得6+3t﹣5t=5或5t﹣(6+3t)=5,解得t=1/2或11/2,
∴t的值为1/2或11/2秒时,线段AB的长为5.
【拓展3】已知多项式﹣m3n2﹣2中,含字母的项的系数为a,多项式的次数为b,常数项为c.且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数
(1)求a、b、c的值,并在数轴上标出A、B、C;
(2)若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动,它们的速度分别是1/2,2,1/4(单位长度/秒),当乙追上丙时,乙是否追上了甲?为什么?
(3)在数轴上是否存在一点P,使P到A、B、C的距离和等于10?若存在,请直接指出点P对应的数;若不存在,请说明理由.
【解答】(1)a=﹣1,b=5,c=﹣2,
(2)当乙追上丙时,乙也刚好追上了甲.
由题意知道:AB=6,AC=1,BC=7.
设乙用x秒追上丙,则2x﹣x/4=7,解得x=4.
∴当乙追上丙时,甲运动了1/2×4=2个单位长度,乙运动了2×4=8个单位长度,此时恰好有AB+2=8,∴乙同时追上甲和丙.
(3)存在点P,使P到A、B、C的距离和等于10,此时点P对应的数是2或-8/3.
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