高中数学解题基本方法
高中数学解题基本方法
三峰家教老师编写
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常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、定义法、数学归纳法、参数法、反证法、消去法、特殊与一般法、
类比与归纳法、观察与实验法
数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；
常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
★★★★★★一、配方法★★★★★★
合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、
二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
基本公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，灵活运用如下：
a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab；
a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ [(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ]
a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ； x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；
Ⅰ、再现性题组：
★1. 在正项等比数列{a }中，a sa +2a sa +a ?a =25，则 a ＋a ＝_______。
★2. 方程x ＋y －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. <k<1 B. k< 或k>1 C. k∈R D. k＝ 或k＝1
★3. 已知sin α＋cos α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
★4. 函数y＝log (－2x ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, ] B. [ ,+∞) C. (－ , ] D. [ ,3)
★5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的两根x 、x ，则点P(x ,x )在圆x +y =4上，则实数a＝_____。
★6.实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
【简解】1小题：利用等比数列性质a a ＝a ，将已知等式左边后配方（a ＋a ） 易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a) ＋(y－b) ＝r ，解r >0即可，选B。
3小题：已知等式经配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题：答案3－ 。 6小题： ， 所以x＋y≥1或x＋y≤－1；
Ⅱ、示范性题组：
★例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，得： 。
长方体所求对角线长为： ＝ ＝ ＝5
★例2. 设方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q，若( ) +( ) ≤7成立，求实数k的取值范围。
【解】由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝ ≤7，
解得k≤－ 或k≥ 。 又△＝k －8≥0即k≥2 或k≤－2
综合起来，k的取值范围是：－ ≤k≤－ 或 ≤k≤ 。 【韦达定理的前提：△≥0】
★★★★★★二、换元法★★★★★★
①局部换元：例如：4 ＋2 －2≥0，先设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式的问题。
②三角换元：应用于去根号，如求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α ，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。 如变量x、y适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换
x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。【可设圆x ＋y ＝r （r>0）上点坐标为（rcosθ，rsinθ）】
③均值换元：如遇到x＋y＝S形式时，设x＝ ＋t，y＝ －t等等。
使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注意新变量范围的确定。
Ⅰ、再现性题组：
★1.y＝sinx·cosx＋sinx＋cosx的最大值是_________。
★2.设f(x ＋1)＝log (4－x ) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
★3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ·a ＝a －a ，则数列通项a ＝___________。
★4.方程 ＝3的解是_______________。
★5.不等式log (2 －1) ·log (2 －2)＜2 的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝ ＋t－ ，对称轴t＝－1，当t＝ ，y ＝ ＋ ；
2小题：设x ＋1＝t (t≥1)， 则f(t)＝log [4-(t-1) ]，所以值域为(－∞,log 4]；
3小题：已知变形为 － ＝－1,设b ＝ ，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；
4小题：设3 ＝y，则3y ＋2y－1＝0, 解得y＝ ，所以x＝－1；
5小题：设log (2 －1)＝y，则y(y＋1) ＜2，解得－2＜y＜1， 所以x∈(log ,log 3)。
Ⅱ、示范性题组：
★例1. 实数x、y满足4x －5xy＋4y ＝5 （ ①式） ，设S＝x ＋y ，求 ＋ 的值。
【解】设 代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5 解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤ ≤ ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝ 的有界性而求，即解不等式：| |≤1。
【另解】由S＝x ＋y ，设x ＝ ＋t，y ＝ －t，t∈[－ ， ]，
则xy＝± 代入①式得：4S±5 =5， 移项平方整理得 100t +39S －160S＋100＝0 。
∴ 39S －160S＋100≤0 解得： ≤S≤ ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
★例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B， ＋ ＝－ ，求cos 的值。（96年全国理）
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 , 由A＋C＝120°，设 ，代入已知等式得：
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
＝ ＝－2 , 解得：cosα＝ ， 即：cos ＝ 。
★例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 的最大值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[- , ]，由(sinx＋cosx) ＝1＋2sinx·cosx得：
sinx·cosx＝ ∴ f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋ （a>0），t∈[- , ]
【1】: ∵对称轴t=2a＞0， ∴ t＝- 时，取最小值：－2a －2 a－
【2】: ①当对称轴t=2a≥ 时，t＝ 时取最大值：－2a ＋2 a－ ；
②当对称轴t=2a 时，t＝2a时取最大值： 。
∴f(x)的最小值为－2a －2 a－ ， 最大值为
★例4. 设对所有实数x，不等式x log ＋2x log ＋log ＞0恒成立，求a的取值范围。
【解】 设log ＝t， 则log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t，
log ＝2log ＝－2 代入后原不等式简化为（3－t）x ＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
，解得 ∴ t<0 即log <0 0< <1，解得0<a<1。
★例5. 已知 ＝ ，且 ＋ ＝ (②式)， 求 的值。
【解】 由 ＝ ＝tgθ，将等式②两边同时除以 ，再表示成含tgθ的式子：1＋tg θ＝ ＝ tg θ，设tg θ＝t，则3t —10t＋3＝0， ∴t＝3或 ， 解得 ＝± 或± 。
★例6. 实数x、y满足 ＋ ＝1，若x＋y－k＞0恒成立，求k的范围。
【解】由 ＋ ＝1，设 ＝cosθ， ＝sinθ，即： 代入不等式x＋y－k>0得： 3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。
【在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”】
y
|
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的
切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后
由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。
★★★★★★三、待定系数法★★★★★★
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等。
Ⅰ、再现性题组：
★1、二次不等式ax ＋bx＋2>0的解集是(－ , )，则a＋b的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
★2、函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为 ，最小值为－ ，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。
★3、与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
★4、与双曲线x － ＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
【简解】1小题：由不等式解集(－ , )，可知－ 、 是方程ax ＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出方程组
2小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案 ；
3小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；
4小题：设双曲线方程x － ＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程 － ＝1。
Ⅱ、示范性题组：
★例1、已知函数y＝ 的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
【分析】对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】 函数式变形为： (y－m)x －4 x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0
∴ △＝(－4 ) －4(y－m)(y－n)≥0 即： y －(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y －(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，
代入两根： 解得： 或 ∴ y＝ 或者y＝
此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y －6y－7≤0，与不等式①比较得： ，解出m、n。
★例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是 － ，求椭圆的方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a
y B’ |
∴ 解得： ∴ 所求椭圆方程是： ＋ ＝1
也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，
再进行如下列式： ，更容易求出a、b的值。
★★★★★★四、定义法★★★★★★
Ⅰ、再现性题组：
★1、已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。
A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
★2、设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。
A. MP<OM<AT B. OM<MP<AT C. AT<<OM<MP D. OM<AT<MP
★3、复数z ＝a＋2ｉ，z ＝－2＋ｉ，如果|z |< |z |，则实数a的取值范围是_____。
A. －1<a<1 B. a>1 C. a>0 D. a<－1或a>1
★4、椭圆 ＋ ＝1上有一点P，它到左准线的距离为 ，那么P点到右焦点的距离为_____。
A. 8 C. 7.5 C. D. 3
★5、奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－ )的值为_____。 A. T B. 0 C. D. 不能确定
【简解】1小题：利用并集定义，选B； 2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；
3小题：利用复数模的定义得 < ，选A； 4小题：利用椭圆的第二定义得到 ＝e＝ ，选A；
5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－ )＝f( )＝－f(－ )，选B；
Ⅱ、示范性题组：
★例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z ＋3 －4，求w的三角形式； ② 如果 ＝1－ｉ，求实数a、b的值。【解】①由z＝1＋ｉ，有w＝z ＋3 －4＝(1＋ｉ) ＋3 －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是：
（cos ＋ｉsin ）； ①由z＝1＋ｉ，有 ＝ ＝
＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。 由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；
根据复数相等的定义，得： ，解得 。
★例2. 已知f(x)＝－x ＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log f(x)的定义域。
【解】 解得： ∴ f(x)＝－x ＋x 解f(x)>0 得：0<x<1
y |
★例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为 的椭圆的下顶点A的轨迹
方程。
【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。 ，消m得：（x－1） ＋ ＝1，轨迹方程为（x－1） ＋ ＝1
【注】圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；
★★★★★★五、参数法★★★★★★
①圆 的参数式坐标 （ ）
②圆 的参数式坐标 （ ）
③椭圆 的参数式坐标 （ ）
Ⅰ、再现性题组：
★2. （理）直线 上与点A(-2,3)的距离等于 的点的坐标是________。
（文）若k<－1，则圆锥曲线x －ky ＝1的离心率是_________。
★3. 点Z在虚轴上移动，则复数C＝z ＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
★4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
★5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。
★6. 椭圆 ＋ ＝1上的点到直线x＋2y－ ＝0的最大距离是_____。
A. 3 B. C. D. 2
【简解】2小题：（理）即两点（ ）、(-2,3)之间的距离＝ ，距离公式解得t＝± ，即(-4,5)或(0,1)； （文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝ ，所以e＝－ ；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b ＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；
4小题：设三条侧棱x、y、z，则 xy＝6、 yz＝4、 xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；
6小题：设x＝4cosα、y＝2sinα，再求d＝ 的最大值，选C。
Ⅱ、示范性题组：
★例1、实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a ＋b ＋c 的最小值。
【解】由a＋b＋c＝1，设a＝ ＋t ，b＝ ＋t ，c＝ ＋t ，其中t ＋t ＋t ＝0，
∴ a ＋b ＋c ＝（ ＋t ） ＋（ ＋t ） ＋( ＋t ) ＝ ＋ (t ＋t ＋t )＋t ＋t ＋t
＝ ＋t ＋t ＋t ≥ 所以a ＋b ＋c 的最小值是 。 【均值换元法】
【另解】a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ≥ 。
★例2、椭圆 ＋ ＝1上有两点P、Q， O为原点。连OP、OQ，若k ·k ＝－ ，
①．求证：|OP| ＋|OQ| 等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
【分析】由“换元法”引入新的参数，即设 （椭圆参数方程），参数θ 、θ 为P、Q两点，先计算k ·k 得出一个结论，再计算|OP| ＋|OQ| ，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。
【解】由 ＋ ＝1，设 ， P(4cosθ ,2sinθ )，Q(4cosθ ,2sinθ ),
则k ·k ＝ ＝－ ，整理得： cosθ cosθ ＋sinθ sinθ ＝0,即cos（θ －θ ）＝0。
∴|OP| ＋|OQ| ＝16cos θ ＋4sin θ ＋16cos θ ＋4sin θ ＝8＋12(cos θ ＋cos θ )
＝20＋6（cos2θ ＋cos2θ )＝20＋12cos（θ ＋θ ）cos（θ －θ ）＝20， 即|OP| ＋|OQ| 等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为 ，
所以有( ) ＋y ＝2＋2(cosθ cosθ ＋sinθ sinθ )＝2, 即PQ的中点M的轨迹方程为 ＋ ＝1。
【另解】设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－ ，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：
，消y得(1＋4k )x ＝16,即|x |＝ ；
，消y得(1＋ )x ＝16，即|x |＝ ；
所以|OP| ＋|OQ| ＝( ) ＋（ ） ＝ ＝20。
【直线上两点之间的距离公式|AB|＝ |x －x |】
★★★★★★六、反证法★★★★★★
Ⅰ、再现性题组：
★1、已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
★2、已知a<0,－1<b<0，那么a、ab、ab 之间的大小关系是_____。
A. a>ab> ab B. ab >ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab >a
【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；
2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；
Ⅱ、示范性题组：
★例.若下列方程：x ＋4ax－4a＋3＝0， x ＋(a－1)x＋a ＝0, x ＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
【解】 设三个方程均无实根，则有： , 解得 ,即－ <a<－1。
所以当a≥－1或a≤－ 时，三个方程至少有一个方程有实根。
高中数学常用的数学思想
★★★★★★一、数形结合思想方法★★★★★★
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
Ⅰ、再现性题组：
★1、设命题甲：0<x<5；命题乙：|x－2|<3，那么甲是乙的_____。
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
★2、若log 2<log 2<0，则_____。(92年全国理)
A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>1
★3、如果|x|≤ ,那么函数f(x)＝cos x＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文)
A. B. － C. －1 D.
★4、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
★5、设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么 等于_____。(90年全国) A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1
★6、如果θ是第二象限的角，且满足cos －sin ＝ ,那么 是_____。
A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角
★7、已知集合E＝{θ|cosθ<sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tgθ<sinθ}，那么E∩F的区间是_____。（93年全国文理）
A. ( ,π) B. ( , ) C. (π, ) D. ( , )
★8、若复数z的辐角为 ，实部为－2 ，则z＝_____。
A. －2 －2ｉ B. －2 ＋2ｉ C. －2 ＋2 ｉ D. －2 －2 ｉ
★9、如果实数x、y满足等式(x－2) ＋y ＝3，那么 的最大值是_____。 (90年全国理)
A. B. C. D.
★10、满足方程|z＋3－ ｉ|＝ 的辐角主值最小的复数z是_____。
【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A; 2小题：由已知画出对数曲线，选B；
3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D； 4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；
5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B； 6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；
7小题：利用单位圆，选A； 8小题：将复数表示在复平面上，选B； 9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D； 10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－ ＋ ｉ。
Ⅱ、示范性题组：
★例1. 若方程lg(－x ＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解， 求实数m的取值范围。
y |
【解】 原方程变形为 即：
设曲线y ＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y ＝1－m，图像如图所示。
由图可知：
① 当1－m＝0时， 有唯一解，m＝1;
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0,
综上： m＝1或－3<m≤0
★例2. 直线L的方程为：x＝－ (p>0),椭圆中心D(2＋ ,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？
【分析】由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点。
【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A( ,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：
，消y得：x －(4－7p)x＋(2p＋ )＝0 所以△＝16－64p＋48p >0,即6p －8p＋2>0，解得：p< 或p>1。 结合范围( ,4+ )内两根，设f(x)＝x －(4－7p)x＋(2p＋ )，所以 < <4+
即p< ，且f( )>0、f(4+ )>0 即p>－4＋3 。 结合以上，所以－4＋3 <p< 。
★例3. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m ＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x ＋y ≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)
【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n ＋15 ; 设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n ＋15上，且直线与圆x ＋y ＝144有公共点， 所以圆心到直线距离d＝ ＝3( ＋ )≥12
∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。
★★★★★★二、分类讨论思想方法★★★★★★
①概念型：如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
②性质型：如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
③含参型：如解不等式 时分a＝0、a＞0和a＜0三种情况讨论。
Ⅰ、再现性题组：
★1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0<a<1
★2.若a>0且a≠1，p＝log (a ＋a＋1)，q＝log (a ＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。
A. p＝q B. p<q C. p>q D.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q
★3.函数y＝ ＋ ＋ ＋ 的值域是_________。
★4.函数y＝x＋ 的值域是_____。 A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
★5.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A. B. C. D. 或
★6.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B； 2小题：对底数a分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C；
3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}； 4小题：分x>0、x<0两种情况，选B；
5小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D； 6小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。
Ⅱ、示范性题组：
★例1. 设函数f(x)＝ax －2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围。
1 4 x 1 4 x
|
【解】①当a>0时，f(x)＝a（x－ ） ＋2－
∴ 或
或
∴ a≥1或 <a<1或φ 即 a> ；
②当a<0时， ，解得φ；
③当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
综上，实数a的取值范围是a> 。
★例2. 设0<x<1，a>0且a≠1，比较|log (1－x)|与|log (1＋x)|的大小。
【解】 ∵ 0<x<1 ∴ 0<1－x<1 , 1＋x>1
① 当0<a<1时， log (1－x)>0，log (1＋x)<0，所以
|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝log (1－x)－[－log (1＋x)]＝log (1－x )>0;
② 当a>1时， log (1－x)<0，log (1＋x)>0，所以
|log (1－x)|－|log (1＋x)|＝－log (1－x) －log (1＋x)＝－log (1－x )>0；
由①、②可知，|log (1－x)|>|log (1＋x)|。
★例3. 解不等式 ＞0 (a为常数，a≠－ )
【分析】含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－ <a<0、a<－ 分别加以讨论。
【解】①当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
②当a＝0时，x >0，解得：x≠0；
③当－ <a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a；
④当a>－ 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。
综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－ <a<0时，x<6a或x>－4a；当a>－ 时，6a<x<－4a 。
★例4. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z ＋2|z|＝a 。 (90年全国高考)
【解】 设z＝x＋yｉ， 代入得 x －y ＋2 ＋2xyｉ＝a； ∴
①当y＝0时，x ＋2|x|＝a，解得x＝±(－1＋ )，所以z＝±(－1＋ )；
②当x＝0时，－y ＋2|y|＝a，解得y＝±(1± )，所以±(1± )ｉ。
由上可得，z＝±(－1＋ )或±(1± )ｉ
★例5. 在xoy平面上给定曲线y ＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。
【解】 设M(x,y)为曲线y ＝2x上任意一点， 则|MA| ＝(x－a) ＋y ＝(x－a) ＋2x＝x －2(a－1)x＋a
＝[x－(a－1)] ＋(2a－1) 由于y ＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：
①当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA} ＝2a－1；
②当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA} ＝a ； 综上所述，有f(a)＝
★★★★★★三、函数与方程的思想方法★★★★★★
Ⅰ、再现性题组：
★1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
★2.如果函数f(x)＝x ＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。
A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)
★3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) ______。
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
★4.已知等差数列的前n项和为S ，且S ＝S (p≠q，p、q∈N)，则S ＝_________。
★5.关于x的方程sin x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
★6.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。
★7. 建造一个容积为8m ，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
【简解】1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；
2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；
3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B；
4小题：利用 是关于n的一次函数，设S ＝S ＝m， ＝x，则（ ,p）、( ,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；
5小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t －t－1∈[－ ,1]，所以答案：[－ ,1]；
6小题：设高h，由体积解出h＝2 ，答案：24 ；
7小题：设长x，则宽 ，造价y＝4×120＋4x×80＋ ×80≥1760，答案：1760。
Ⅱ、示范性题组：
★例1. 设a>0，a≠1，试求方程log (x－ak)＝log (x －a )有实数解的k的范围。(89年全国高考)
y C C
-ak -a a x
|
【解】采取“数形结合法”：将原方程化为：
log (x－ak)＝log ，等价于
x－ak＝ (x－ak>0)，
设曲线C ：y＝x－ak，曲线C ：y＝ (y>0)，
如图所示。由图可知，当－ak>a或－a<－ak<0时
曲线C 与C 有交点，即方程有实解。所以k的取值范围是：
k<－1或0<k<1。
【另解】原方程等价为 ，解得： ， 所以 >ak，即 －k>0，
通分得 <0，解得k<－1或0<k<1。 所以k的取值范围是：k<－1或0<k<1。
★例2. 设不等式2x－1＞m(x －1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x －1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立，
设f(m)＝(x －1)m－(2x－1), 则 解得x∈（ , ）
【注】在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。
★例3. 设等差数列{a }的前n项的和为S ，已知a ＝12，S ＞0，S ＜0 。
①.求公差d的取值范围； ②.指出S 、S 、…、S 中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考)
【解】① 由a ＝a ＋2d＝12,得到a ＝12－2d， 所以S ＝12a ＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d＞0，
S ＝13a ＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d＜0。 解得：－ <d<－3。
② S ＝na ＋ n(n－1)d＝n(12－2d)＋ n(n－1)d
＝ [n－ (5－ )] － [ (5－ )] 因为d<0，故[n－ (5－ )] 最小时，S 最大。
由－ <d<－3得 6< (5－ )<6.5， 故正整数n＝6时[n－ (5－ )] 最小，所以S 最大。
★例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。
【证明】①当x＝y时，可得x＝z， ∴x、y、z成等差数列；
②当x≠y时，设方程(x－y)t －(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t ＝t ，并易知t＝1是方程的根。
∴t ·t ＝ ＝1 ， 即2y＝x＋z ， ∴x、y、z成等差数列
【注】如果具备b －4ac≥0或b －4ac≤0的形式，可以利用根的判别式构造一元二次方程。
★★★★★★四、等价转化思想方法★★★★★★
即恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想。
Ⅰ、再现性题组：
★1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
★2. 若m、n、p、q∈R且m ＋n ＝a，p ＋q ＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是______。
A. B. C. D.
★3. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。
A. 1 B. C. 2 D.
★4. 设椭圆 ＋ ＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于 c，则椭圆的离心率为_____。 A. B. C. D.
【简解】1小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B；
2小题：由mp＋nq≤ ＋ 容易求解，选A；
3小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；
4小题：ab＝ × ，变形为12e －31e ＋7＝0，再解出e，选B；
Ⅱ、示范性题组：
★例1. 若x、y、z∈R 且x＋y＋z＝1，求( －1)( －1)( －1)的最小值。
【解】( －1)( －1)( －1)＝ （1－x）(1－y)(1－z)＝ (1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)
＝ (xy＋yz＋zx－xyz)＝ ＋ ＋ －1 ≥3 －1＝ －1 ≥ －1＝9
★例2. 设x、y∈R且3x ＋2y ＝6x，求x ＋y 的范围。
【解】由6x－3x ＝2y ≥0得0≤x≤2。 设k＝x ＋y ，则y ＝k－x ，代入已知等式得：x －6x＋2k＝0 ，
即k＝－ x ＋3x，其对称轴为x＝3。 由0≤x≤2得k∈[0,4]。 所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
【另解】数形结合法（转化为解析几何问题）：
由3x ＋2y ＝6x得(x－1) ＋ ＝1，即表示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x ＋y 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。 由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x ＋y ＝k，代入椭圆中消y得x －6x＋2k＝0。 由判别式△＝36－8k＝0得k＝4, 所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
【再解】三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
由3x ＋2y ＝6x得(x－1) ＋ ＝1，设 ， 则x ＋y ＝1＋2cosα＋cos α＋ sin α
＝1＋ ＋2cosα－ cos α ＝－ cos α＋2cosα＋ ∈[0,4] 所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。
初中数学公式总结
本文转载自理综老师《初中数学公式总结》
初中数学公式总结
三峰家教老师编写
内部资料不得外传
QQ: 1208951757
代数部分
★基本性质：
-
★分解因式方法：
一提、二套、三分组、四十字、五拆分。
★套公式法分解因式：
★十字相乘法分解因式：
★拆分分组法分解因式：
★解一元一次方程步骤：
去分母→去括号→移项→合并同类项→
将X系数化为1
★解二元一次方程组：
代入消元法、 加减消元法
★解不等式组：
两大取其大，两小取其小，大小小大中间找，
大大小小找不到。
★不等式两边同除以负数不等号方向改变
★一元二次方程的解：
★判别式：
> 0： 方程有两个不等的实根
= 0： 方程有两个相等的实根
< 0： 方程没有实根，
★根与系数的关系（韦达定理）：
★a元钱一次存3年期(年利3%）到期本息和：
（1+3% 3）a元 （单利）
★a元钱存1年期(年利2.5%）自动转存共三
年：（1+2.5%） a元 （复利）
★（x,y）关于x=a的对称点是（2a-x,y）
★（x,y）关于y=x的对称点是（y,x）
★（x,y）关于y=-x的对称点是（-y,-x）
★一次函数 的图像特点：
值定增减； 值上下移
★已知两点，确定一次函数
已知三点，确定二次函数
★二次函数三种表达式：
（一般式）
（顶点式）
（两根式）
★二次函数对称轴：
二次函数极值：
★图像移动：
★方差：
★加权平均数：
源自：宣城三峰数理化家教班辅导教师。
几何部分
★过两点有且只有一条直线
★两点之间线段最短
★同角或等角的补角相等
★同角或等角的余角相等
★过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
★直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
★平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
★同位角相等，两直线平行
★内错角相等，两直线平行
★同旁内角互补，两直线平行
★如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
★两直线平行，同位角相等
★两直线平行，内错角相等
★两直线平行，同旁内角互补
★定理：三角形两边的和大于第三边
★推论：三角形两边的差小于第三边
★三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
★推论1：直角三角形的两个锐角互余
★推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
★推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
★三角形中位线平行且等于底边的一半
★全等三角形的对应边、对应角相等
★边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
★角边角公理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
★边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等
★推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
★斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
★定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
★定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
★角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
★等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
★等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
★等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
★推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
★等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
★推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
★推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
★在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
★一个角为 的直角三角形三边之比：
★一个角为 的直角三角形三边之比：
★会利用直角三角形三边之比求 、 的正弦、余弦、正切值
★直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
★定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
★逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
★线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
★定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等图形
★定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
★定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
★逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
★勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
★勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系 ，那么这个三角形是直角三角形
★直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项
★直角三角形的任一直角边是斜边和该直角边在斜边上射影的比例中项
★多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2）×180°
★推论：任意多边的外角和等于360°
★平行四边形性质定理：
1 平行四边形的对角相等
2 平行四边形的对边相等
3 平行四边形的对角线互相平分
★推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
★平行四边形判定定理：
1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
2 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
★矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
2 矩形的对角线相等
★矩形判定定理
1 有三个角是直角的四边形是矩形
2 有一个角是直角的平行四边形是矩形
3 对角线相等的平行四边形是矩形
★菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
★菱形面积==对角线乘积的一半
★菱形判定定理：
1 四边都相等的四边形是菱形
2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
★正方形性质定理：
1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
★正方形的判定：
1 有一组邻边相等的矩形是正方形
2 两对角线互相垂直的矩形是正方形
3 有一个角是直角的菱形是正方形
4 两对角线相等的菱形是正方形
5 两对角线互相垂直平分且相等的
四边形是正方形
★定理1：关于中心对称的两个图形是全等的
★定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
★逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
★等腰梯形性质定理：
等腰梯形在同一底上的两个角相等
等腰梯形的两条对角线相等
★等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
对角线相等的梯形是等腰梯形
★平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
★推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
★推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
★三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
★梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
★(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d
★(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么
(a±b)／b=(c±d)／d
★(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n
那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
★平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
★推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比
例
★定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
★平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
★定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
★相似三角形判定定理：
1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）
2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
★直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
★如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
★性质定理
1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
2 相似三角形周长的比等于相似比
3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
★任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，
任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
★圆是到定点的距离等于定长的点的集合
★圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合
★圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合
★同圆或等圆的半径相等
★到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
★和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线
★到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
★到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
★定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
★垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
★推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
★推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等
★定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
★推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
★定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
★推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
★推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径
★推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
★定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
★①直线L和⊙O相交 d ＜r
②直线L和⊙O相切 d = r
③直线L和⊙O相离 d ＞r
★切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
★切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
★推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
★推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
★切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
★圆的外切四边形的两组对边的和相等
★弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
★推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
★相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
★切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
★推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
★如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
★①两圆外离 d ＞ R+r
②两圆外切 d = R+r
③两圆相交 R-r ＜ d ＜ R+r (R＞r)
④两圆内切 d = R-r (R＞r)
⑤两圆内含 d ＜ R-r (R＞r)
★定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
★定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
★弧长计算公式：
L=
★扇形面积公式：
S=
★圆柱侧面积：
S=
★圆锥侧面积
S=
★正三角形面积：
S=
★菱形面积：
S=底*高= 对角线的积
★柱体体积公式：
V=
★圆柱体：
V=
★锥体体积公式：
V=
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