第十六章分式知识点和典型例习题
【知识网络】
【思想方法】 1.转化思想
转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等. 2.建模思想
本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义. 3.类比法
本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程.
第一讲 分式的运算
【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;
2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则
【主要公式】1.同分母加减法则:
bb?ca?ca?a?a
0? 2.异分母加减法则:
bda
c
bcac?
daac
bc?daac
a?0,c?0?;
3.分式的乘法与除法:
bdbdda
c
ac
,
ba
cd
ba
c
bdac
4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a
m
●
an =am+n; am÷ an =am-n
m
n
m
n
6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m
= a b, (a)
= a
mn
7.负指数幂: a
-p
=
1a
p
a0
=1
8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)= a
2
- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2
(一)、分式定义及有关题型
题型一:考查分式的定义
1
【例1】下列代数式中:
xa?by
2
,1
2
x?y,,
x
2
a?b
x?y
,
x?yx?y
,是分式的有: .
题型二:考查分式有意义的条件
【例2】当x有何值时,下列分式有意义 (1)
x?4 (2)
3xxx?4
(3)
2 (4)
6?x
2
2
x
2
1
|x|?3
(5)
1
x?
1x
题型三:考查分式的值为0的条件
【例3】当x取何值时,下列分式的值为0.
(1)
x?1x?3
(2)
|x|?2 (3)
x2?2x?3x
2
4
x
2
5x?6
题型四:考查分式的值为正、负的条件
【例4】(1)当x为何值时,分式
48?x
为正;
(2)当x为何值时,分式
5?x3?(x?1)
2
为负;
(3)当x为何值时,分式
x?2x?3
为非负数.
练习:
1.当x取何值时,下列分式有意义: (1)
1 (2)
3?x6|x|?3
(3)
1
(x?1)
2
1
1?
1x
2.当x为何值时,下列分式的值为零: 2
(1)
5?|x?1|x?4
(2)
25?x
x2
6x?5
3.解下列不等式 (1)
|x|?20x?1
(2)
x?5?0
x
2
2x?3
(二)分式的基本性质及有关题型
1.分式的基本性质:AB?A?M?MB?M
AB?M
2.分式的变号法则:
aa?b
a?b
a?b
b
题型一:化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.
1(1)2x?23y
1
(2)
0.2a?0.03b3x?
14y
0.04a?b
题型二:分数的系数变号
【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. (1)
x?y?x?y
(2)?
aa?b
(3)?
a?b
题型三:化简求值题
【例3】已知:
113xy?2yx?y
5,求
2x?x?2xy?y
的值.
提示:整体代入,①x?
y?3xy
,②转化出
1x?1y
.
【例4】已知:x?
1x
2
,求x2
1的值.
x
2
【例5】若|x?y?1|?(2x?3)2?0,求14x?2y
的值.
练习:
1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
(1)
0.03x?0.2y0.4a?
3 (2)
5b
0.08x?0.5y
11
4
a?
10
b
22.已知:x?
1x?3,求xx
4
x
2
的值.
1
3.已知:
11a?3ab?2ba
2b
3,求
b?ab?a
的值.
4.若a2?2a?b2?6b?10?0,求
2a?b3a?5b的值.
5.如果1?
x?2
,试化简
|x?2|x?12?x
|x?1|
|x|x
.
(三)分式的运算
1.确定最简公分母的方法: ①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
题型一:通分
【例1】将下列各式分别通分.
(1)
c
2ab,
b
,
a
3a2c?5b2; (2)
a
,
b
;
ca?b2b?2a
(3)
1,
x
2(4)a?2,
1x
2
2
,
; x
2
2?a
x1?2x?x?x?2
题型二:约分
【例2】约分: 2
(1)
16xy(3)
n
2
m
2
x?220xy
3;m?n
;(3)
x2x
2
.
x?6
题型三:分式的混合运算
【例3】计算: 2
(1)(
abc
2
2
bc3?c
)3
(
ab
)?(
a
)
4
; (2)(
3a
3
x?y)?(x
2
y2
)?(
y?xy?x
)
2
;(3)m?2na
2
n?m?
nm?n?
2mn?m
;
(4)a?1
a?1
;
(5)11?x
1
2x4x
3x
71?x
2
4
8x
8
;
1?x
1?x1?(6)
11(x?1)(x?1)
1(x?1)(x?3)?
(x?3)(x?5);
(7)(
x2
4
1?2x
x
2
4x?4
x?2
)?(
x
2
x?1
)
题型四:化简求值题
【例4】先化简后求值 (1)已知:x??1,求分子1?
8
[(
x
2
4
1x2
4
4x
1)?(
12
x
)]的值;
(2)已知:
x2
yzxy?2yz?3xz3
4
,求
2
2
的值;
x
2
y?z
(3)已知:a2?3a?1?0,试求(a2
1)(a?
1a
2
a
)的值.
题型五:求待定字母的值
【例5】若1?3x?
M?
NM,Nx
2
x?1
x?1
,试求的值.
1
练习:
1.计算
(1)
2a?5?a?1?
2a?32(a?1)
2(a?1)
2(a; (2)
a
2
b
2
2ab
1)
a?b
b?a;
(3)
a?b?ca?2b?3c4)a?b?2b2
a?b?c
b?c?a?
b?2cc?a?b; (a?b
;
(5)(a?b?
4ab)(a?b?4ab)a?b
a?b
;
(6)111?x
1?x
2;
1?x
2
(7)
1?
2(x?2)(x?3)
(x?1)(x?3)
1
(x?1)(x?2)
.
2.先化简后求值
(1)
a?1a
2
4
a?2
1
,其中a满足a2?a?0.
a
2
2a?1a
2
1
(2)已知x:
y?2:3
,求(
x
2
y
2
y3
的值.
xy
)?[(x?y)?(
x?x
)]?
xy
2
3.已知:
5x?4AB(x?1)(2x?1)
x?1
2x?1
,试求A、B的值.
4.当a为何整数时,代数式
399a?805a?2
的值是整数,并求出这个整数值.
(四)、整数指数幂与科学记数法
题型一:运用整数指数幂计算
【例1】计算:(1)(a?2)?3?(bc?1)3
(2)(3x3y2z?1)?2?(5xy?2z3)2
(a?b)?35(3)[
(a?b)2
(4)[(x?y)3?(x?y)?2]2?(x?y)?6(a?b)
2
(a?b)
4
]
题型二:化简求值题
【例2】已知x?x?1?5,求(1)x2?x?2的值;(2)求x4?x?4的值. 题型三:科学记数法的计算
【例3】计算:(1)(3?10?3)?(8.2?10?2)2;(2)(4?10?3)2?(2?10?2)3. 练习:
1.计算:(1)(1
1
)?(1
)?2?|?1
3
5
5
3
|?(1?3)0?(?0.25)2007?42008
(2)(3?1m3n?2)?2?(m?2n)?3
(2ab2
)
2
2(3)
(ab)
2
(3a3
b2)?(ab3
)
2
y)2
(4)
[4(x?(x?y)?2]
2
[2(x?y)
1
(x?y)]
2
2.已知x2
5x?1?0,求(1)x?x
1
,(2)x2?x
2
的值.
第二讲 分式方程
【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;
2.分式方程产生增根的原因
3.分式方程的应用题
【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;
2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.
(一)分式方程题型分析
题型一:用常规方法解分式方程
【例1】解下列分式方程 (1)
1;(2)
210
x?1
3x
x?3
x?;(3)
x?14
xx?1
;(4)
5x
2
1x?3
x?54?x
1
提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.
题型二:特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程 (1)
x4x?4x?79x?1
x
4
; (2)
x?6
x?x?8
x?10x?9?
x?6x?5
提示:(1)换元法,设xx?1
y
;(2)裂项法,
x?7x?6
1?
1
x?6
.
【例3】解下列方程组
1
11?(1)?
x?y?2??1
1?
1(2) ?yz3??1z
1?1
(3)
x4题型三:求待定字母的值
【例4】若关于x的分式方程2x?3
1?
mx?3
有增根,求m的值.
【例5】若分式方程2x?a1x?2
的解是正数,求a
的取值范围.
提示:x?
2?a0
3
且x?2,?a?2且a??4.
题型四:解含有字母系数的方程
【例6】解关于x的方程
x?acb?x
d
(c?d?0)
提示:(1)a,b,c,d是已知数;(2)c?d
0
.
题型五:列分式方程解应用题
练习:
1.解下列方程: (1)
x?12xx?1
1?2x
0
; (2)
xx?3
2?
4x?3
;
(3)2x3x?2
x?2?2
;
(4)
7
3?x2
x
2
xx?x
2
1?
7x
2
1
(5)5x?4?
2x?512x?43x?2
2
(6)1x?1
1x?5
1x?2
1x?4
(7)
xx?9x?2
x?1x?7
x?1
x?8x?6
2.解关于x的方程: (1)
12a?1x?b
(b?2a);
(2)1aa
x
1b
bx
(a?b)
. 3.如果解关于x的方程
k?2?
x
x?2
x?2
会产生增根,求k的值.
4.当k为何值时,关于x的方程x?3x?2
k(x?1)(x?2)
1的解为非负数.
5.已知关于x的分式方程
2a?1x?1
a
无解,试求a的值.
(二)分式方程的特殊解法
解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:
一、交叉相乘法
例1.解方程:
13x?
x?2
二、化归法
例2.解方程:
12
x?1
0
x2
1
三、左边通分法
例3:解方程:
x?81x?7
7?x
8
四、分子对等法
例4.解方程:
1b(a?ax?1b?x
a?b)
五、观察比较法
例5.解方程:
4x5x?2
5x?2174x
4
六、分离常数法
例6.解方程:
x?1x?8?2x?2
x?9
xx?3
x?7x?8
七、分组通分法
例7.解方程:1x?2
1x?5
1x?3
1x?4
(三)分式方程求待定字母值的方法
例1.若分式方程
x?1mx?2
2?x无解,求m的值。
.若关于x的方程
xk
2
例2x?1
x不会产生增根,求k的值。x
2?1
x?1
例3.若关于x分式方程1?
k3
x?2x?2?的值。 x2
有增根,求k?4
例4.若关于x的方程1
k?5
k?1有增根x
1,求k
x1
x
x
2
的值。?xx
2
1
转载请保留出处,http://www.ledlh.cn/doc/info-04f684c76137ee06eff918fe.html
联系客服