概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
数列
一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝）
的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如
n
(n?N*)，则在数列{an}的最大项为__ （1）已知an?2
n?156
1
（答：）；
25
an
（2）数列{an}的通项为an?，其中a,b均为正数，则an与an?1的大小关系为
bn?1
___
（答：an?an?1）；
（3）已知数列{an}中，an?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围 （答：???3）；
（4）一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式?f(an)得到的数列{an}满足an?1?an(n?N*)，则该函数的图象是 （）
（答：A）
an?1
A B C D
二．等差数列的有关概念：
1．等差数列的判断方法：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。如
设{an} 是等差数列，求证：以bn=
a1?a2???an
n?N*为通项公式的数列{bn}为
n
等差数列。
2．等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。如
(1)等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an?（答：2n?10）；
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______
8
（答：?d?3）
3
n(a1?an)n(n?1)
d。如 3．等差数列的前n和：Sn?，Sn?na1?
221315
（1）数列 {an}中，an?an?1?(n?2,n?N*)，an?，前n项和Sn??，则a1＝
222
＿，n＝＿
（答：a1??3，n?10）；
（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n2，求数列{|an|}的前n项和Tn
2*
12n?n(n?6,n?N)
（答：Tn??2）. *
n?12n?72(n?6,n?N)
a?b
4．等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?。
2
提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，
其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差为2d） 三．等差数列的性质：
1．当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，
n(n?1)dd
d?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常且斜率为公差d；前n和Sn?na1?
222
数项为0.
2．若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。 3．当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.如
（1）等差数列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____
（答：27）；
（2）在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n项和，则 A、S1,S2?S10都小于0，S11,S12?都大于0 B、S1,S2?S19都小于0，S20,S21?都大于0 C、S1,S2?S5都小于0，S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0，S21,S22?都大于0
（答：B）
4．若{an}、则{kan}、{bn}是等差数列，{kan?pbn} (k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N*)、
Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列，而{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且
an?0，则{lgan}是等差数列. 如
等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。
（答：225）
5．在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇?nd；项数为奇数2n?1时，
，S2n?1?(2n?1)?a中（这里a中即an）；S奇S:S奇?S偶?a中（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______
（答：2）；
（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数
（答：5；31）.
偶
k(:)1?k。如
6．若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且
an(2n?1)anA2n?1
f(2n?1).如 bn(2n?1)bnB2n?1
An
f(n)，则 Bn
设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若那么
an
___________ bn
Sn3n?1
，?
Tn4n?3
（答：
6n?2
）
8n?7
7．“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等
差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组
an?0??an?0?确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是?或??????an?1?0??an?1?0?
关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N*。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如
（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，
a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是（答：4006）
8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm. 四．等比数列的有关概念：
1．等比数列的判断方法：定义法an?1?q(q为常数），其中q?0,an?0或an?1?an
an
an
an?1
(n?2)。如
（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an?1
为____
5
（答：）；
6
（2）数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。
2．等比数列的通项：an?a1qn?1或an?amqn?m。如
设等比数列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n项和Sn＝126，求n和公比q.
1
（答：n?6，q?或2）
2
a1(1?qn)a1?anq
3．等比数列的前n和：当q?1时，Sn?na1；当q?1时，Sn?。如 1?q1?q
（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99
（答：44）；
k
（2）?(?Cn)的值为__________
n?1k?0
10n
（答：2046）； 特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。
4．等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两
数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数a,b(a?b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an
及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为?，aaaa23
q,,a,aq,aq?（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为?，?，,,aq,aq23
qqqq因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5.等比数列的性质：
n?p?q（1）当m?时，则有am?特别地，当m?n?2p时，则有am?an?ap?aq，an?ap2.如
（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___
（答：512）；
（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则log3a1?log3a2???log3a10?
（答：10）。
(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、若{an}、{kan}成等比数列；{bn}{ap?nq}(p,q?N*)、
a
成等比数列，则{anbn}、{n}成等比数列； 若{an}是等比数列，且公比q??1，则数列
bn
Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也是等比数列。当q??1，且n为偶数时，数列
Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?是常数数列0，它不是等比数列. 如
gxn1（1）已知a?0且a?1，设数列{xn}满足loa?1??
x1?x2???x10?0100，则x101?x102???x200?.
(n?N*)，且loxagn
（答：100a100）；
（2）在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30?13S10,S10?S30?140，则S20的值为______
（答：40）
(3)若a1?0,q?1，则{an}为递增数列；若a1?0,q?1, 则{an}为递减数列；若
a1?0,0?q?1 ，则{an}为递减数列；若a1?0,0?q?1, 则{an}为递增数列；若q?0，则{an}为摆动数列；若q?1，则{an}为常数列.
a1na
(4) 当q?1时，Sn?q?1?aqn?b，这里a?b?0，但a?0,b?0，这是
1?q1?q
等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。
如若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝
（答：－1）
(5) Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值为_____
（答：－2）
(6) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS奇；项数为奇数2n?1时，
S奇?a1?qS偶.
(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设
数列?an?的前n项和为Sn（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题：①若an?an?1(n?N)，则?an?既是等差数列又是等比数列；②若Sn?an2?bn?a、b?R?，则
an?是等差数列；③若Sn?1???1?n，则?an?是等比数列。这些命题中，真命题的序号是
（答：②③）
五.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列1111
3,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________ 481632
1
（答：an?2n?1?n?1）
2
S,(n?1)
⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：an?S1?S,(n?2)。如
nn?1
①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an
（答：an?
111
②数列{an}满足a1?2a2???nan?2n?5，求an
222
3,n?1
）；
2n,n?2
（答：an?
14,n?1
）
2n?1,n?2
f(1),(n?1)??f(n)
⑶已知a1?。如数列{an}中，a2???an?f(n)求an，用作商法：an??
,(n?2)
a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n2，则a3?a5?______
61
（答：）
16
⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)
1
(n?2)，则an=________
a1(n?2)。如已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?
n?1?n
（答：an?1）
aaaa
an?n?n?1???2?a1(n?2)。⑸已知n?1?f(n)求an，用累乘法：如已知数列{an}
anan?1an?2a1中，a1?2，前n项和Sn，若Sn?n2an，求an
如（1）设{an}为等比数列，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，T2?4，①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.（答：①a1?1，q?2；②Tn?2n?1?n?2）；
（2）设函数f(x)?(x?1)2，g(x)?4(x?1)，数列{an}满足：a1?2,f(an)?(an? an?1)g(an)(n?N?)，①求证：数列{an?1}是等比数列；②令h(x)?(a1?1)x?(a2?1)x2
888???(an?1)xn，求函数h(x)在点x?处的导数h?()，并比较h?()与2n2?n的大小。333
888h?()＝2n2?n；h?()<2n2?n；（答：①略；②h?()?(n?1)?2n?1，当n?1时，当n?2时，333
8当n?3时，h?()>2n2?n） 3
5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①??； ②?(?)； 111111111111?(?)，?③2?2??2???； kk?12k?1k?1kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k
n111111?[?] ；⑤④；
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)!n!(n?1)!
. ⑥?如（1）求和：111?????1?44?7(3n?2)?(3n?1)
（答：
（2）在数列{an}中，an?1
n?n?1n）； 3n?1，且Sｎ＝９，则n＝_____
（答：99）；
6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如 ①求数列1×4，2×5，3×6，?，n?(n?3)，?前n项和Sn n(n?1)(n?5)（答：）； 3
②求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3???n
（答：2n） n?1
七．“分期付款”、“森林木材”型应用问题
1．这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
2．利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r，则n期后本利和为：Sn?p(1?r)?p(1?2r)??p(1?nr)
n(n?1)?p(n?r)（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模2
型：若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分n期还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：（等比数列问题）. p(1?r)n?x(1?r)n?1?x(1?r)n?2???x(1?r)?x
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