2008年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
参考公式:
球的表面积公式:S=4πR2,其中R是球的半径.
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率:
kn-kPn(k)=Ck
np(1-p)(k=0,1,2,?,n).
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件A、B相互独立,那么P(AB)=P(A)2P(B).
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)满足M?{a1, a2, a3, a4},且M∩{a1 ,a2, a3}={ a1,a2}的集合M的个数是
(A)1 (b)2 (C)3 (D)4
(2)设z的共轭复数是z,若z+z=4, z2z=8,则z等于 z
(A)i (B)-i (C)±1 (D) ±i
(3)函数y=lncosx(-ππ<x<=的图象是 (
) 22
(4)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a的值为
(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1
(5)已知cos(α-π7π则sin(α?)的值是 )+sinα
66
(A)-44223 (B) (C)- (D) 5555
(6)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几
何体的表面积是
(A)9π (B)10π
(C)11π (D) 12π
(7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,?,18的18名火炬手。若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为
11 (B) 5168
11(C) (D) 306408(A)
(8)右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的 1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎
叶图,图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字,右边的数字表
示城镇居民百户家庭人口数的个位数字,从图中可以 得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数
的平均数为
(A)304.6 (B)303.6 (C)302.6 (D)301.6
(9)(X-1
x)12展开式中的常数项为
(A)-1320 (B)1320 (C)-220 (D)220
(10)设椭圆C1的离心率为5,焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两13
个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为
x2y2x2y2
(A)2?2?1 (B)2?2?1 13543
x2y2x2y2
(C)2?2?1 (D)2?2?1 131234
(11)已知圆的方程为X2+Y2-6X-8Y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为
(A)10 (B)206 (C)306 (D)406
x?2y?19?0,?(12)设二元一次不等式组?x?y?8?0,所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,
2x?y?14?0?
a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是
(A)[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
(13)执行右边的程序框图,若p=0.8,则输出的n= .
(14)设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若?1
0f(x)dx?f(x0),0≤x0
≤1,则x0的值为. 3(15)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向
量m=(,n=(cosA, sinA)。若m⊥n,且3,?1)
acosB+bcosA=csinC,则角B=(16)若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,
则b的取值范围为(5,7).
三、解答题:本大题共6小题,共74分.
(17)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=3sin(?x??)?cos(?x??)(0???π,??0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求f(π. 2π)的值; 8
π个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到6(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移
原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
(18)(本小题满分12分)
甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分, 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为2,乙队中3人答对的概率分别为3
221,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响。用ε表示甲队的总得分。 332
(Ⅰ)求随机变量ε分布列和数学期望;
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
(19)(本小题满分12分)
将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,?构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn为数列{bn}的前n
项
和,且满足2bn=1(n≥2). 2bnSN?Sn
1}成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; Sn
4时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.. 91(Ⅰ)证明数列{(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81??
(20)(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面
ABCD,?ABC?60?,E,F分别是BC, PC的中点.
(Ⅰ)证明:AE⊥PD;
(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正
切值为E—AF—C的余弦值. 2
1?aln(x?1),其中n∈N*,a为常n(1?x)(21)(本小题满分12分) 已知函数f(x)?
数.
(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n, 当x≥2时,有f(x)≤x-1.
(22)(本小题满分14分)
如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为 直线y= -2p上任意
一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(Ⅰ)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p
)时,AB?求此时抛物线的方程;
(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在
抛物线x?2py(p>0)上,其中,点C满足OC?OA?OB2
(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
2008年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
参考答案
第Ⅰ卷(共60分)
参考公式:
球的表面积公式:S=4πR2,其中R是球的半径.
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率:
kn-kPn(k)=Ck
np(1-p)(k=0,1,2,?,n).
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件A、B相互独立,那么P(AB)=P(A)2P(B).
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)B
(2)D
(3)A
(4)A
(5)C
(6)D
(7)B
(8)B
(9)C
(10)A
(11)B
(12)C
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
(13)4
(14). 3π. 6(15)
(16)(5,7).
三、解答题:本大题共6小题,共74分.
(17)
解:(Ⅰ)f(x)=sin(?x??)?cos(?x??) =2??3?1sin(?x
)?cos(?x??)? 2?2?
ε的数学期望为
Eε=0?
1248?1??2??3??2. 279927
2
3解法二:根据题设可知?~B(3,)
因此ε的分布列为
2k2k22?kkP(??k)?C3?()?(1?)?C3?3,k?0,1,2,3.33322因为?~B(3,),所以E??3??2 33k
(Ⅱ)解法一:用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C、D互斥,又
2?211121211?2P(C)?C23?()2?(1?)???????????3?332332332?3
10?4, 3
21114P(D)?C23?()2?(??)?5,33323
由互斥事件的概率公式得
P(AB)?P(C)?P(D)?1043434??? 343535243
.解法二:用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表示“已队得k分”这一事件,k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故事
P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).
22311111222()?(2?)?C33?(?2??C12?2)32323233
34?. 243
(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明数列{1}成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; Sn
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81??4时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和. 91
(Ⅰ)证明:由已知,当n≥2时
2bn?1,2bnSn?Sn
又 Sn?b1?b2???bn,
(2Sn?Sn?1)?1,2(Sn?Sn?1)Sn?Sn
(2S?Sn?1)n?1,?Sn?1Sn
111??,SnSn?12
又S1?b1?a1?1.
1?1所以数列??是首项为1,公差为的等差数列.2?Sn?
11n?1=1+n?1)?,Sn22
即 Sn?2.n?1
222???n?1nn(n?1). 所以 当n?2时,bn?Sn?Sn?1?
1 n=1??2因此,bn??- n≥2?n(n?1)?
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为q,且q>0.
因为 1?2?????12?12?13?78, 2 所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,
故 a81在表中第13行第三列,
42 因此a81?b13?q??. 912, 又 b13??13?14 所以 q=2. 记表中第k(k≥3)行所有项的和为S, bk(1?qk)2(1?2k)2 则S????(1?2k)(k≥3). 1?qk(k?1)1?2k(k?1)
(20)(本小题满分12分)
(Ⅱ)解:设AB=2,H为PD上任意一点,连接AH,EH.
由(Ⅰ)知 AE⊥平面PAD,
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中,AE
所以 当AH最短时,∠EHA最大,
即 当AH⊥PD时,∠EHA最大.
此时 tan∠EHA
=AE?? AH因此 AH
又AD=2,所以∠ADH=45°,
所以 PA=2.
解法一:因为 PA⊥平面ABCD,PA?平面PAC,
所以 平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,
过O作OS⊥AF于S,连接ES,则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角, 在Rt△AOE中,EO=AE2sin30°
3,AO=AE2cos30°=, 2 又F是PC的中点,在Rt△ASO中,SO=AO2sin45°
又
SE??? 4
SO?? 在Rt△ESO中,cos∠
ESO=SE5
即所求二面角的余弦值为 5
解法二:由(Ⅰ)知AE,AD,AP两两垂直,以A为
坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E、F分别为BC、PC的中点,所以
E、F分别为BC、PC的中点,所以
A(0,0,0),B
-1,0),C
1,0),
D(0,2,0),P(0,0,2),E
0,0),F
1
2,1),
所以
AE?????AF??1
2,1).
设平面AEF的一法向量为m?(x1,y1,z1),
则???m????AE??0,
AF??0,
m
因此1?0,
x1
1?2y1?z1?0.
取z1??1,则m?(0,2,?1),
因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,
所以 BD⊥平面AFC,
故 ???BD?为平面AFC的一法向量.
又 ???BD?=(
),
所以 cos<m,???BD?>
=m????BD?|m|?|BD|??
因为 二面角E-AF-C为锐角,
所以所求二面角的余弦值为5
(21)
(Ⅰ)解:由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1},
当n=2时,f(x)?1
(1?
x)2?aln(x?1),
2?a(1?x)2
所以 f?(x)?. 3(1?x)
(1)当a>0时,由f?(x)?0得
x1?11
,x2?1<1, 此时 f?(x)??a(x?x1)(x?x2). (1?x)3
当x∈(1,x1)时,f?(x)?0,f(x)单调递减;
当x∈(x1+∞)时,f?(x)?0,f(x)单调递增.
(2)当a≤0时,f?(x)?0恒成立,所以f(x)无极值.
综上所述,n=2时,
当a>0时,f(x)
在x?1
当a≤0时,f(x)无极值.
(Ⅱ)证法一:因为a=1,所以f(x)?
当n为偶数时, 令g(x)?x?1?a2f(1?(1?ln). 2a1?ln(x?1). (1?x)n1?ln(x?1), (1?x)n
则 g?(x)?1?n1x?2n????0,(x?2). n?1n?1x?1x?1(x?1)(x?1)
所以当x∈[2,+∞]时,g(x)单调递增,
又 g(2)=0 因此g(x)?x?1?1?ln(x?1)≥g(2)=0恒成立, (x?1)n
所以f(x)≤x-1成立.
当n为奇数时,
要证f(x)≤x-1,由于1<0,所以只需证ln(x-1) ≤x-1, (1?x)n
令 h(x)=x-1-ln(x-1),
2x2x?2p?2(x2?x0). 2pp ②
2x1?x2?x1?x2?x0, 由①、②得 2
因此 x0?x1?x2,即2x0?x1?x2. 2
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时,
将其代入①、②并整理得:
2 x1?4x1?4p2?0, 2 x2?4x2?4p2?0,
所以 x1、x2是方程x2?4x?4p2?0的两根, 因此x1?x2?4,x1x2??4p2,
2x2x12?2p2px1?x2x0???, x2?x12pp 又kAB
所以kAB?2. p由弦长公式得 AB??
又AB?
所以p=1或p=2, 因此所求抛物线方程为x?2y或x?4y. 22
(Ⅲ)解:设D(x3,y3),由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),
则CD的中点坐标为Q(x1?x2?x3y1?y2?y3,), 22 设直线AB的方程为y?y1?x0(x?x1), p
x?x2y1?y2,)也在直线AB上, 由点Q在直线AB上,并注意到点(1
22
代入得y3? x0x3. p
2 若D(x3,y3)在抛物线上,则x3?2py3?2x0x3, 因此 x3=0或x3=2x0. 22x0 即D(0,0)或D(2x0,). p
(1)当x0=0时,则x1?x2?2x0?0,此时,点M(0,-2p)适合题意.
2x12?x2
2x12?x22p??, 2x04px0 2x12?x2(2)当x0?0,对于D(0,0),此时C(2x0,),kCD2p
又kAB?x0,AB⊥CD, p
22x0x12?x2x12?x2????1, 2p4px04p所以kAB?kCD
22即x1?x2??4p2,矛盾. 222x0x12?x2对于D(2x0,),因为C(2x0,),此时直线CD平行于y轴, p2p
又kAB?x0?0, p
所以 直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾, 所以x0?0时,不存在符合题意的M点.
综上所述,仅存在一点M(0,-2p)适合题意.转载请保留出处,http://www.sodocs.net/doc/85c6d423af45b307e87197b4.html
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