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基础物理No.5质能方程守恒及E=mc2推导

2016.08.05


(如果你进来了,请耐心看完,方可获益)

微信公众号:天文物理

【基础天文】【基础物理】两个基础系例希望让大家的认知能更深刻方能更进一步!

好高骛远可是大忌哦

阿尔伯特·爱因斯坦

E=mc2数学推导:

图:云睿

(数学推导可能部分童鞋反应不过来…没事文章后面还有推导说明及)

首先为什么E=mc2 ?

(请看下文)

根据狭义相对论,质量和能量是等价的,并且是同一个物体的两种不同表现。

物质都具有质量:大到星系、恒星和行星,小到分子、原子和基本粒子。不管它们有多小,所有我们已知的物质都有基本的性质:质量。也就是说即使它不再运动,或者让它慢慢减速直至完全的静止,它仍然会影响着宇宙中其它的物体。每个单独的质量对宇宙中其它的物体都具有引力作用,不管距离多远。它试图吸引所有其它的物体,但也经历着被所有其它的物体所吸引。此外,它的存在也具有一定的能量。

想知道物质为什么有质量吗?因为有质量E=mc2这个伟大的方程才得以成立,你我也才得以存在

于世!关于物质或基本粒子为什么会有质量这个问题,本期文章不做探讨,敬请关注微信公众号:天文物理、和微信公众号:博科园、未来某期会针对该问题做进一步探讨

描述了大质量物体(比如太阳和地球)是如何影响时空的构造。

但是,这并不意味着只有具有质量的物体才能具备能量。在宇宙中也有完全没有质量的粒子,比如光子。光子也携带一定量的能量,它们可以与其它的物体作用,并被吸收,以及传递能量给其它的物体。足够能量的光可以加热物体,并传递额外的动能(和速度)给它们。光子会把原子中的电子踢到更高的能量等级,或者完全电离它们,这都取决于光子的能量。

此外,无质量粒子(比如光子)的能量只由它们的频率和波长决定,两者的乘积等于无质量粒子的速度,即光速。波长越长,频率越小,能量也越低。反之短波长意味着拥有更高的频率和能量。

波长越长的光子能量越小。但是所有的光子,不论其波长和能量为何,它们的速度都一样,即光速。

在物理上,我们把能量当做完成某项任务的能力,我们称之为做功的能力。那么有质量粒子和无质量粒子之间的能量有什么关联?

我们可以想象,将一个电子(物质)和一个正电子(反物质)相互碰撞,它们会湮灭并产生无质量粒子(比如两个光子)。但是为什么两个光子的能量等于电子(和正电子)的质量乘以光速的平方?为什么是E=mc2,而不是E=2mc2,或者是其它常数(? 或 π 等)?

爱因斯坦在讲堂上推导狭义相对论 @1934年。

有趣的是,如果狭义相对论是正确的,那么方程式必须是E=mc2。为什么是会这样?要回答这个问题,我们先开始想象在你空间中有一个完全静止的盒子,在盒子的两边分别有两面镜子,有一个光子在盒子里朝着一端的镜子传播。如下图:

思想实验的装置:一个具备动量和能量的光子在一个带有质量M的静止的(动量=0,动能=0)盒子里运动。(? E.Siegel)

最初,这个盒子完全的静止,但是由于光子携带能量(和动量),当光子撞上盒子一端的镜子时就会反弹,盒子则开始向光子最初的传播方向移动。光子朝另一端的镜子再次反弹折回,使盒子的动量再次改变为零。光子将不断的来回反弹,因此盒子一半的时间向前移动,一半的时间保持静止。

换句话,平均上这个盒子是在移动的,由于盒子拥有质量,它就具有一定的动能,这一切都是因为光子的能量。但更重要的是动量(是描述一个物体运动的量)这个概念。光子具有动量,其关系很简单明了:波长越短、能量越高,因此动量也越大。

光子的能量取决于波长:波长越大能量越小,波长越短能量越大。

为了更好的理解,我们来做一个思想实验。我需要你想象,最初当光子自身在运动时会发生什么。它具有一定的能量以及一定的动量,这两者都必须是守恒的。现在光子的能量由它的波长决定,盒子的能量由静止质量决定。此外光子具有整个系统的动量,也就是盒子的动量为零。

现在光子撞上盒子,并暂时被吸收。动量和能量两者都必须守恒,它们是宇宙中最基本的守恒定律。如果光子被吸收,这意味着只有一个方法能保持动量守恒:盒子获得了一定的速度往光子移动的方向移动。

吸收了光子后盒子的能量(KE)和动量(M'v)。如果盒子没有在该作用中获得了额外质量,能量和动量就不可能守恒。(? E.Siegel)

现在,我们可以问自己,盒子的能量是多少?结果是我们熟知的动能公式:KE = ?mv2,m是盒子的质量,v是盒子的速度。但是,当我们比较现在盒子的能量与光子被吸收之前的能量,我们发现盒子现在的能量不够。

难道是已知的物理定律在哪里错了?并不是,有一个非常简单的解决方法。盒子/光子系统的能量是盒子的静止能量加上盒子的动能再加上光子的能量。当盒子吸收光子时,大部分光子的能量转换成了盒子的质量。一旦盒子吸收光子,它的质量跟它与光子作用之前不同(增加了)。

当盒子重新辐射出光子时,能量和动量仍然必须守恒。(? E.Siegel)

当盒子重新辐射出光子(往相反的方向)时,它获得了更多的动量和速度(为了平衡往反方向运动具有负动量的光子),甚至更多的动能,但是它必须失去一定的静止质量来补偿。在一点点的数学计算,你就会发现为了得到能量守恒和动量守恒,我们最终会得到质能关系E=mc2。

如果在方程式加上其它常数,就得不到守恒,每次吸收或辐射光子的时候都会得到会失去能量。直到1930年,当反物质最终被发现的时候,物理学家得到了E=mc2的第一次验证,在这之前是上述的思想实验帮助我们得到的该结果。

能量守恒与动量守恒是我们现在生活在这个宇宙所要求的,这也正是为什么E=mc2。

质能方程:

质能方程E=mc2,E表示能量,m代表质量,而c则表示光速(常量,c=299792.458km/s)。由阿尔伯特·爱因斯坦提出。该方程主要用来解释核变反应中的质量亏损和级和计算高能物理中粒子的能量。这也导致了德布罗意波和波动力学的诞生。

质能方程表述如:

其中,E是能量,单位是焦耳(J)。M是质量,单位是千克(Kg)。C在数值上等于光速的数值大小,c=299792458m/s

该公式表明物体相对于一个参照系静止时仍然有能量,这是违反牛顿系统的,因为在牛顿系统中,静止物体是没有能量的。这就是为什么物体的质量被称为静止质量。公式中的E可以看成是物体总能量,它与物体总质量(该质量包括静止质量和运动所带来的质量)成正比,只有当物体静止时,它才与物体的(静止)质量(牛顿系统中的'质量')成正比。这也表明物体的总质量和静止质量不同。

反过来讲,一束光子在真空中传播,其静止质量是0,但由于它们有运动能量,因此它们也有质量。

表达形式1:

上式中的

为物体的静止质量,
为物体的静止能量。中学物理教材中所讲的质能方程含义与此表达式相同,通常简写为 。表达形式2:

为随运动速度增大而增大了的质量。

为物体运动时的能量,即物体的静止能量和动能之和。

表达形式3:

上式中的Δm通常为物体静止质量的变化,即质量亏损。ΔE为物体静止能量的变化。实际上这种表达形式是表达形式1的微分形式.这种表达形式最常用,也是学生最容易产生误解的表达形式。

注意术语不同:有些术语使用中,质量单指静止质量,因为总质量和能量是等价的概念。若

指代静止质量,则公式应改写为而,因此,

也就是总质量的表达式,其中

为洛伦兹因子。

推导1:

首先要认可狭义相对论的两个假设:1、任一光源所发之球状光在一切惯性参照系中的速度都各向同性总为c。 2、所有惯性参考系内的物理定律都是相同的。

如果你的行走速度是v,你在一辆以速度u行驶的公车上,那么当你与车同向走时,你对地面的速度为u+v,反向时为u-v,你在车上过了1分钟,别人在地上也过了1分钟——这就是我们脑袋里的常识。也是物理学中著名的伽利略变换,整个经典力学的支柱。该理论认为空间是独立的,与在其中运动的各种物体无关,而时间是均匀流逝的,线性的,在任何观察者来看都是相同的。

而以上这个变换恰恰与狭义相对论的假设相矛盾。

事实上,在爱因斯坦提出狭义相对论之前,人们就观察到许多与常识不符的现象。物理学家洛伦兹为了修正将要倾倒的经典物理学大厦,提出了洛伦兹变换,但他并不能解释这种现象为何发生,只是根据当时的观察事实写出的经验公式——洛伦兹变换——而它却可以通过相对论的纯理论推导出来。

然后根据这个公式又可以推导出质速关系,也就是时间会随速度增加而变慢,质量变大,长度减小。

一个物体的实际质量为其静止质量与其通过运动多出来的质量之和。

当外力作用在静止质量为

的自由质点上时,质点每经历位移
,其动能的增量是
,如果外力与位移同方向,则上式成为
,设外力作用于质点的时间为

,则质点在外力冲量
作用下,其动量增量是
,考虑到
,有上两式相除,即得质点的速度表达式为
,亦即
,根据洛伦兹变换,得质量的变换公式为

,两边平方得
,对速度
求导:得

注意到等式右边为0,即上式可化为

代入上式得

上式说明,当质点的速度v增大时,其质量m和动能Ek都在增加,质量的增量dm和动能的增量

之间始终保持 所示的量值上的正比关系。当
时,质量
,动能
,据此,将上式积分,即得

上式是相对论中的动能表达式。爱因斯坦在这里引入了经典力学中从未有过的独特见解,他把

叫做物体的静止能量,把
叫做运动时的能量,我们分别用 和
表示:
, 。

推导:

首先是狭义相对论得到

洛伦兹因子

所以,运动物体的质量

然后利用泰勒展开(展开后第二项为零,此处为第一项和第三项):

得到

其中

为静止能,

就是我们平时见到的在低速情况下的动能,后面的是高阶的能量。

(当可以测出

时,由此公式可以计算出物体运动的绝对速度。)

推导2:

根据公式,运动时物体质量增大,同时运动时将会有动能,质量与动能均随速度增大而增大。

根据,得,因为,所以,由易得。将该式对 和

进行微分,得,代入得,对其积分,。

这就是相对论下的动能公式。当速度为0,,动能为0。为物体静止时的能量,而 总能量=静止能量+动能,因此总能量。

静止能量

物体的静止能量是它的总内能,包括分子运动的动能、分子间相互作用的势能、使原子与原子结合在一起的化学能、原子内使原子核和电子结合在一起的电磁能,以及原子核内质子、中子的结合能…….物体静止能量的揭示是相对论最重要的推论之一,它指出,静止粒子内部仍然存在着运动。一定质量的粒子具有一定的内部运动能量,反过来,带有一定内部运动能量的粒子就表现出有一定的惯性质量.在基本粒子转化过程中,有可能把粒子内部蕴藏着的全部静止能量释放出来,变为可以利用的动能。例如,当π介子衰变为两个光子时,由于光子的静止质量为零而没有静止能量,所以,π介子内部蕴藏着的是全部静止能量。

亏损守恒

当一组粒子构成复合物体时,由于各粒子之间有相互作用能以及有相对运动的动能,因而,当物体整体静止时,它的总能量一般不等于所有粒子的静止能量之和,即

,其中

为第i个粒子的静止质量。

两者之差称为物体的结合能:

与此对应,物体的静止质量

亦不等于组成它的各粒子的静止质量之和,两者之差称为质量亏损:

质量亏损与结合能之间有关系:

由于在中学物理教材中,对此式的解释较浅,因此,有些学生就误认为核反应过程中,质量不再守恒,且少掉的质量转化为能量了。

守恒定律

在一个孤立系统内,所有粒子的相对论动能与静能之和在相互作用过程中保持不变,称为质能守恒定律。

在相对论里,质能公式

描述了质量与能量存在固定关系。在经典力学中,质量和能量之间是相互独立、没有关系的,但在相对论力学中,能量和质量只不过是物体力学性质的两个不同方面而已。这样,在相对论中质量这一概念的外延就被大大地扩展了.爱因斯坦指出:“如果有一物体以辐射形式放出能量ΔE,那么它的质量就要减少 .

至于物体所失去的能量是否恰好变成辐射能,在这里显然是无关紧要的,于是我们被引到了这样一个更加普遍的结论上来.物体的质量是它所含能量的量度,”他还指出,“这个结果有着特殊的理论重要性,因为在这个结果中,物体系的惯性质量和能量以同一种东西的姿态出现……我们无论如何也不可能明确地区分体系的‘真实’质量和‘表现’质量。把任何惯性质量理解为能量的一种储藏,看来要自然得多。”这样,原来在经典力学中彼此独立的质量守恒和能量守恒定律结合起来,成了统一的“质能守恒定律”,它充分反映了物质和运动的统一性。质能方程说明,质量和能量是不可分割而联系着的。一方面,任何物质系统既可用质量m来标志它的数量,也可用能量E来标志它的数量;另一方面,一个系统的能量减少时,其质量也相应减少,另一个系统接受而增加了能量时,其质量也相应地增加。

质能方程——著名的公式

,人们把这个方程叫做爱因斯坦质能方程。

机械能守恒定律的主要公式:

(1 表示物体初状态,2为末状态)。

影响意义

这个等式源于阿尔伯特·爱因斯坦对于物体惯性和它自身能量关系的研究。研究的著名结论就是物体质量实际上就是它自身能量的量度。为了便于理解此关系的重要性,可以比较一下电磁力和引力。电磁学理论认为,能量包含于与力相关而与电荷无关的场(电场和磁场)中。在万有引力理论中,能量包含于物质本身。因此物质质量能够使时空扭曲,但其它三种基本相互作用(电磁相互作用,强相互作用,弱相互作用)的粒子却不能,这并不是偶然的。

这个方程对于原子弹的发展是关键性的。通过测量不同原子核的质量和那个数量的独立质子和中子的质量和的差,可以得到原子核所包含的结合能的估计值。这不仅显示可能通过轻核的核聚变和重核的核裂变释放这个结合能,也可用于估算会释放的结合能的量。注意质子和中子的质量还在那里,它们也代表了一个能量值。

一个著名的花絮是爱因斯坦最初将方程写为

(用了一个“L',而不是“E'来表示能量,而E在其它地方也用来表示能量)。

重要的是要注意实际的静质量到能量的转换不大可能是百分之百有效的。一个理论上完美的转化是物质和反物质的湮灭;对于多数情况,有很多带静质量的副产品而不是能量,因而只有少量的静质量真正被转换。在该方程中,质量就是能量,但是为了简明起见,转换这个词常常被用于代替质能等价关系,实际上通常所指的一般是静质量和能量的转换。

本文参考综合网络及百度百科

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来自:深怀见物理  > 科学与宗教
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