等差数列和等比数列的公式、法则、定理

一、 等差数列
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示.
等差数列的通项公式为：
an=a1 (n-1)d (1)
前n项和公式为：
Sn=na1 n(n-1)d/2或Sn=n(a1 an)/2(2)
从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项.
,
且任意两项am,an的关系为：
an=am (n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式.
从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：
a1 an=a2 an-1=a3 an-2=…=ak an-k 1,k∈{1,2,…,n}
若m,n,p,q∈N*,且m n=p q,则有
am an=ap aq
Sm-1=(2n-1)an,S2n 1=(2n 1)an 1
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.
和＝（首项＋末项）*项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
项数=(末项－首项）/公差＋1
等差数列的应用：
日常生活中,人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,长安等差数列进行分级.
若为等差数列,且有ap=q,aq=p.则a(p q)＝－（p q).
若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m n)＝0.
等比数列：
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
（2）前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)
且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k 1,k∈{1,2,…,n}
（4）若m,n,p,q∈N*,则有：ap·aq=am·an,
等比中项：aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项.
记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n 1=(an 1)2n 1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.
性质：
①若 m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq；
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方.
等比数列在生活中也是常常运用的.
如：银行有一种支付利息的方式---复利.
即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金,
在计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利.
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1 利率)存期