三分钟读懂量子力学：什么是量子隧穿？

即便关在果壳之中，仍是无限空间之王。——莎士比亚

波函数的概率诠释认为物质波散布于全空间，粒子在任意位置被找到的概率相同，这在一定程度上为不确定性原理、量子隧穿以及量子纠缠埋下了伏笔。

量子隧穿与经典碰撞

量子隧穿是指微观粒子可以穿越大于自身总能量的势垒的量子行为，而这在经典力学中是不允许的，因为在没有外力的作用下，一个小球不可能跳出盒子。

为什么微观世界的“小球”不能放在盒子里？可以这样理解：粒子波函数分布在整个空间，意味着粒子同时存在于多个盒子之中，假如要将波函数限制在一个盒子（势垒）里，就相当于把波函数逐出其他所有的盒子，这样总会赶之不尽，所以粒子就还有在其他盒子里的可能性。

太阳核聚变：原子核之间的势垒能量大约是原子核热动能的1000倍，量子隧穿使得原子核穿越势垒，促成核聚变

盒子外的波函数

波函数的运动变化由薛定谔方程描述，所以量子隧穿其实是求解薛定谔方程（上一篇内容）的数学结果。

文章导图

宏观世界的盒子相当于量子世界的势垒，当波函数处于盒子边界时，可得不含时薛定谔方程：

-(ℏ²/2m) ∂²ψ/∂x²+Vψ=Eψ

移项化简得：

(ℏ²/2m) ∂²ψ/∂x²=(V-E)ψ

已知盒子边界的势能V，则方程的通解为：

ψ(x)=Ae^kx + Be^-kx，其中A、B是任意常数，k=√(2m/ℏ²)(V-E)。

利用量子隧穿效应测定的硅表面结构

波函数的解包含了两项，Ae^kx 是指数递增，Be^-kx是指数递减，实际意义中粒子在盒子外的概率不可能大于在盒子里的概率，所以函数的解不可能向无限大变化，故舍去Ae^kx 项。最后方程的解为：

ψ(x)= Be^-kx

边界解基本上意味着粒子不会逃出盒子，但概率不为0，而是指数递减的。当势垒V=∞时，递减极快，但当V等于有限值时，递减程度可以比较缓慢，则粒子穿过边界的可能性较大。因此量子理论中的粒子可以允许走进被禁止的区域。

粒子波函数在穿越势垒前后能量保持不变，概率幅则降低

盒子里的波函数

当波函数在盒子里时，势能V=0，此时方程的解为：

ψ(x)= Bsin(nπx/L)

这是熟悉的正弦形式，波函数在盒子里的变化相当于两端固定的琴弦共振，众所周知，共振模式只能取整数倍的半波长，同理势垒中的粒子波函数也只能取离散的能量值E=(2nπℏ/L)²/2m。

束缚于势垒中的八个不同能级的能量本征波函数(n=0~7)

综上所述，量子隧穿效应虽然不符合人们的日常经验，但是完全符合量子力学的理论框架，它给予粒子无限可能，同时也带给人类某种希望。

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