导读
与全等三角形有关的证明与计算是中考命题的热点,也是解答诸多几何综合题的关键知识,想要在中考取得好成绩,全等三角形不容小觑。
导读 与全等三角形有关的证明与计算是中考命题的热点,也是解答诸多几何综合题的关键知识,想要在中考取得好成绩,全等三角形不容小觑。 陕西、云南说:在解答题中考查,以三角形或四边形为背景,直接证明三角形全等或通过三角形全等证明角相等、线段相等或平行。 河南说:必考内容,但是不单独出题,均在几何解答题中涉及,常在圆的有关证明、几何探究题中作为解题工具进行考查。 安徽说:在几何探究题中考查,以三角形或四边形为背景,证明三角形全等或利用三角形全等证明线段相等。 河北说:考查形式仅2016年单独考查全等三角形的判定,其余年份均为在综合题中考查,利用全等三角形的判定与性质作为解题工具。 山西说:主要考查与三角形、四边形结合来解决有关的线段或角度问题,有时会涉及图形的变换。
1.全等三角形的性质与判定
(1)五种判定方法:
①三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS);
②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);
③有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);
④有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);
⑤直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL);
(2)相关性质:全等三角形的对应边相等;对应角相等;对应角的角平分线相等;对应边上的高、中线对应相等;全等三角形的周长、面积均相等。
2. 寻找全等三角形的常用方法
①从结论出发,看要证明相等的两条线段或角分别在哪两个可能全等的三角形中;
②从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;
③从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;
④若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
3. 构造全等三角形的常用方法
(1)出现角平分线时,有三种常见的添加辅助线的方法:①可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,根据角平分线的性质定理或逆定理构造全等三角形;②可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,构造全等三角形;③可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,分别连接这两点与角平分线上的某点,构造全等三角形。
(2)出现线段的中点(或三角形的中线)时,可利用中点构造全等三角形(常用倍长中线,使延长线段与原中线长相等)。
(3)遇到有两条线段之和等于第三条线段的长,常用截长法或补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
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