【中考数学】与切线有关的证明与计算

与切线有关的证明与计算是全国中考的必考点，考查形式有：切线的判定；与切线性质有关的证明与计算．要想中考得高分，一定要掌握哦！

“七嘴八舌”说考情

陕西、云南说：我们是必考点，常在解答题中考查，设问都是两问，考查形式包含：①切线的判定；②证明角相等；③证明线段相等；④证明线段成比例；⑤求角度；⑥求线段长；⑦求三角函数值等.

山西说：我也是哦，同时还会考查求弧长.

江西说：我和你们一样哦，但是近4年考查切线判定时常以动点问题为背景.

河南说：我是近4年连续在解答题中考查的，与大家不一样的是，会涉及到特殊四边形的判定.

河北说：跟你们相比，我就很特殊了，考查类型有：①线段旋转引起的动态探究；②直线旋转带动圆的旋转引起的动态探究；③滚动圆问题；④折叠圆问题；设问有最值问题、直线和圆相切确定取值范围、弧长和扇形面积计算问题等；结合的图形多为三角形、四边形.

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与切线有关的证明与计算常考类型如下：

 1. 切线的判定 

常采用判定定理法，其基本思路是：有切点，连半径，证垂直．

证明垂直时常会用到以下方法：

（1）直线与圆有公共点，连半径，证垂直；

① 若图中有90°角时；

a. 利用等角代换证明：通过互余的两个角之间的等量代换得证，图形示例如下：

b. 利用平行线性质证明：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可，图形示例如下：

c. 利用三角形全等或相似证明：通过证明切线所在的三角形与含90°角的三角形全等或相似，图形示例如下：

② 若图中无90°角时；

用等腰三角形的性质证明：通过圆心与切点的连线为所在等腰三角形的中线或角平分线，根据“三线合一”的性质得证，图形示例如下：

（2）直线与圆不确定有无公共点时，作垂线，证相等．

自圆心向这条直线作垂线，通过角平分线的性质，三角形全等等方法证明垂线段等于半径，图形示例如下：

 2. 解决与切线有关的求线段或角度问题的方法：

（1）解决与切线有关的线段问题时，常需构造直角三角形(切线垂直于过切点的半径或直径所对的圆周角为直角)，利用勾股定理或锐角三角函数求解，有时也会根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式来解决；

（2）解决与切线有关的角度问题时，往往与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解，特别注意一些特殊角，如直径所对的圆周角等于90°、和圆的半径相等的弦所对的圆心角等于60°、切线与过切点的半径或直径所构成的角等于90°.

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