数学经典：牛顿用几何原理推导反正弦函数的无穷级数的方法

牛顿在他1669年的手稿中，对反正弦函数的幂级数进行了推导：这被称为“牛顿精湛的表演”。

牛顿1669年手稿的一页

理解牛顿推导的几何原理都包含在下面的图一中，首先这是一个函数

图一：四分之一单位圆方程

上述方程描述的是一个四分之一的单位圆的

弧αD等于z（圆的半径为1），从图一中我们得到：

图二：角z的正弦值等于横坐标x

因此，我们的目标是确定x(作为z的幂级数)。

图三

三角形DGH和DBT相似。由于ABD和DBT三角形也相似，我们得到：

为了方便起见，运用图一中四分之一单位圆方程，该表达式变为：

牛顿下一步是使用它发明的二项式定理将其展开，如下图所示

牛顿二项式定理

现在求图一中的反函数，得到z=z(x)= arcsinx，然后对上面的二项式展开进行积分得到

需要注意的是，牛顿得到这个表达式所需要的积分就是他自己发明的微积分公式