辅助线——截长补短

截长补短

遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的方法．截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论．

1．如图，若要求证AB＋BD＝AC，可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可；或延长AB至点C′使得AC′＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可．

2．如图，若要求证AB＋CD＝BC，可以在BC上截取线段BF＝AB，再证明CD＝CF即可；或延长BA至点F，使得BF＝BC，再证明AF＝CD即可．

3．在一个对角互补的四边形中，有一组邻边（AB＝AD）相等，可以使用补短的方法延长另外两边的一条，构建全等三角形．

【典型例题】——截长补短

042．如图，点D为等腰直角三角形△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA，则①DE平分∠BDC；②△BCE是等边三角形；③∠AEB＝45°；④DE＝AD＋CD，其中正确的有（）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解析】

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD，

∴D在AB的垂直平分线上，∵AC＝BC，

∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝15°＋45°＝60°，

∴∠BDE＝∠DBA＋∠BAD＝60°；∴∠CDE＝∠BDE，即DE平分∠BDC；

（2）∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝15°，由①得∠CDE＝60°，∠DCB＝45°，

∴∠BCE＝60°，∵AC＝BC，∴CE＝BC，∴△BCE是等边三角形；

（3）由②得△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEA＝45°；

（4）【方法一】

如图，在DE上取一点F，使得DF＝CD，并连接CF，

∵∠CDE＝∠BDE＝60°，∴∠BDC＝120°，△DCF为等边三角形，

∴∠DFC＝60°，DC＝FC，∴∠CFE＝∠CDB＝120°，

∵CB＝CE，∴△BDC≌△EFC，∴EF＝BD，

∴DE＝EF＋DF＝BD＋CD＝AD＋CD．

【方法二】

如图，延长DC至点F，使得CF＝AD，并连接EF，

∵AD＝DB，∴CF＝BD，∵等边△BCE，∴∠CBE＝∠BCE＝60°，BE＝CE，

∴∠DBE＝∠CBD＋∠CBE＝75°，∵∠BCD＝45°，∴∠ECF＝180°－∠DCE＝75°，

∴∠DBE＝∠ECF，∴△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，

∵∠CDE＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴DE＝DF＝DC＋CF＝AD＋CD．

【总结】线段和差的问题可以考虑使用截长补短的方法．

【举一反三】

042．（15十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF的长为（　　）．