－1－
微积分（Calculus）是微分学（Differentiation）和积分学（Integration）的总称，微分学就是‘无线细分’，积分学就是‘无限求和’，无限就是极限，微积分的基础就是极限的思想。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的，主要内容包括极限、连续、可微和重积分，最重要的思想就是“微元”和“无限逼近”。
微积分主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：
第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
微分应用包括极端速度、加速度、曲线斜率、最优化等。积分应用包括面积、体积、弧长、质心、做功、压力。更高级的应用包括幂级数和傅里叶级数等。
恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机。宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用，以及地球对它附近物体的作用。从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为。宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含范围内。这是人类认识史上的一次空前的飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的科xy动开始了。毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。
微积分中最重要的概念是“极限”。微商（即导数）是一种极限。定积分也是一种极限。
求曲线的切线（微分的导数问题），依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值，当这些差值变成无限小时之比；而求曲线下的面积（积分问题），则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（亦即宽度为无限小的矩形面积之和），并看到了这两类问题的互逆性，莱布尼茨在给洛必达的一封信中总结说：“求切线不过是求差，求积分不过是求和。
导数是无穷小之比，积分是无穷小之和。
导数的定义是差商的极限，作为它的对偶情形，考虑乘积之和就引入了定积分。
连续函数的定积分之值等于它的任意一个原函数在积分区间上的改变量，即牛顿-莱布尼茨公式，它建立起连续函数的定积分与其原函数之间的一种关系，它提示了定积分与不定积分之间的内在联系，也为积分计算找到了一条捷径。
微积分就是关于瞬时变化率的数学。是指某个特定的量在瞬时变化得有多快。积分则相反，在给定某个量的变化率，通过积分则得到这个量本身。
代数方程与一个未知数的各次幂有关。微分方程则更高级，与一个未知函数的各阶导数有关。牛顿的伟大发现在于，自然规律并不是通过某些量的规律性，而是通过它们的导数之间的关系来呈现。自然法则则用微积分的语言来记录；重要的不是物理量的值，而是它们的变化率。这是很深刻的发现，它引发了一场革命，或多或少的导致了现代科学的诞生。
－2－
在运动学中，平均速度等于通过的距离除以所花费的时间，但是当间隔的时间趋于零，也就是瞬时速度时，则无法按照通常的除法计算，这时的速度为时间的导数，得用求导的方法计算。也就是说，一个函数的自变量趋近某一极限时，其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即为导数。在速度问题上，距离是时间的因变量，随时间变化而变化；当时间趋于某一极限时，距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
导数就是关于函数对于自变量的变化率，从几何上看，变化率就是函数f(x)图像上x处的切线斜率。它可以通过求割线的斜率来逼近。
微分学研究的是一个函数的导数的定义，性质和应用。求导的过程被称为微分。给定一个函数和定义域内的一个点，在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现。通过找出一个函数定义域内每一点的导数，可以生成一个新的函数，叫做原函数的导函数，或者导数。在数学术语中，导数是输入一个函数，输出另一个函数的线性算子。这比初等代数里的过程更抽象一些，初等代数里的函数常常是输入一个数，并输出另一个数。
微分是函数增量相对于自变量在某一点的增量的近似求法。函数在某一点的微分就是函数在该点的增量的线性主部。
微分学的核心是斜率和切线的概念。一个是代数的概念，一个是几何的概念。
我们先从斜率开始讨论，假设在坐标平面内有一条直线，我们分别研究x坐标和y坐标，但是研究x和y是如何连带变化的通常更有益。例如，如果x增加4个单位，那么相应的y值如何变化呢？能够想到的是这个答案与问题中的直线的坡度有关，在下图中，左边的直线逐渐上升，所以坐标增加4个单位（即水平轴上增加4个单位）导致y坐标产生较小的变化（即垂直变化非常小），但是对于右边倾斜较大的直线来说，x增加4个单位则导致y产生较大的上升。
用数学的语言描述这一概念，我们定义直线的斜率为：
如果一条直线的斜率是2/5,那么当x增加5个单位时，y会增加2个单位，缓缓上升。但如果斜率是5/2，则表明当x增加2个单位时，y整整增加了5个单位，此时攀升速度相当快。
通过点(x1,y1)和点(x2,y2)的直线的斜率的定义：
如何确定曲线的斜率呢？如y=4x^2+2x+9，显然，整个抛物线没有固定的斜率，每一点的斜率都不同。如何确定点P0(2,29) 斜率呢？从图上看,在点P0画出这个抛物线的切线，切线的斜率就是抛物线的点P0处的斜率。
但如何求切线的斜率呢，因为斜率的定义需要直线上的两个点来计算，现在只有P0点而已，微分学给出了绕过这一障碍的方法，那就是间接地逼近这条切线的斜率，这是一条绝妙的进攻路线。
我们需要求出的是曲线在x=2处的斜率，首先我们考虑：选取靠近x=2处的一个点，先选取x=5这一个点P(5,119)，两点PP0连成了一条割线，用割线的斜率来近似点P0的切线的斜率。
| x | y | 割线斜率 | |
| 5 | 119 | 30 | |
| 4 | 81 | 26 | |
| 3 | 51 | 22 | |
| 2.5 | 39 | 20 | |
| 2.1 | 30.84 | 18.4 | |
| 2.01 | 29.1804 | 18.04 | |
| 2.001 | 29.018 | 18.004 | |
| 2.0001 | 29.0018 | 18.0004 | |
| 2.00001 | 29.00018 | 18.00004 |
有一个显然的趋势，选取点越靠近P0点(x=2)，对应的割线也旋转着更加靠近这条切线。
这样，需要有一个一般的方法去求ax^2+bx+c上任意点P0(x0,y0)处的斜率公式：选取一个邻近点P(x,y)，x=x0+h;
曲线的切线斜率是当h趋近于0时相应割线斜率的极限，这个极限称为导数，求导数的过程称为微分。
微分学的目标就是发展更一般的公式。我们肯定不想局限于处理抛物线。使用与上面的过程类似的思路，数学家从一般函数y=f(x)开始，求其上任意点（x,y）处的切线的斜率。同上，我们在这条曲线上选择一个邻近点，坐标是(x+h,f(x+h)),接下来，确定割线的斜率：
最后求当h→0时，上面这个商的极限值。
莱布尼茨把导数记为:
后来约瑟夫﹒路易﹒拉格朗日(1736-1813)引入更强大的记法，使用符号f’(x)表示f(x)的导数。
求曲线的极大值和极小值的关键是我们前面讨论的斜率，在小山的顶部或狭谷的底部，曲线的切线是水平的，即是一条水平直线，它的斜率是0.用代数的语言表示，求函数的极值，可以转换为求函数的导数等于0的方程解。
我们可以从一个实例去充分领略微分学的风范。
意大利数学家吉罗拉莫﹒卡尔达诺（1501-1576）有一个论断：不存在两个实数（设为x,y）满足其和等于10且其积等于40；利用微分学，我们很容易证明他的结论。
f(x)=xy=x(10-x)=-x*x+10x,求其极大值。
f’(x)=-2x+10,当x=5时，f’(x)=0,xy=25,和等于10的两个实数有极大积25.
如果讨论周长为20的几何体，哪一类及相应参数设计如何达到面积最大？圆，面积可达100/pi.
微分的概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去挖替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。
微分的思路就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，则线性函数总是比较容易计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似的值，这就是利用微分方法进行近似计算的基本思想。
函数与其导数是两个不同的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体特征，就需要在导数和函数之间建立起联系。微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西定理、泰勒定理）是沟通导数值与函数值的桥梁，是利用导数的局部性质去推断函数整体性质的工具。
利用中值定理通过导数去研究函数的形态，如判断函数的上升、下降、极限值、凹形、凸形和拐点等重要形态，从而把握住函数图像的各种几何特性。
中值定理刻画了函数在区间上的增量与函数在敬意内的某一点的导数的关系。
在数学中，微分是对函数在局部变化率的一种线性描述，微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。
－3－
微分学研究的是曲线的斜率，而积分学描述的是曲线下的面积；对于圆和梯形等不同图形的面积我们需要应用不同的公式，相对而言，积分采用更一般的视点，寻找一个统一的方法求任意函数界定的面积。
如前面微分学的思路，由割线的斜率去逼近目标点的切线的斜率，曲线下面积的求法的思路也可从矩形的面积累积：构造的矩形的高可由t的值，通过y=f(t)求得，如下图，曲线下面积≈矩形面积之和= f(t1)△t1+ f(t2)△t2+ f(t3)△t3.显然，这个面积只是粗略地近似。如何改进它呢？合适的技巧就是更多的细分：利用极限的思路，不要止于一千或一百万个矩形，让它们的数量没有限制地增加，甚至到了它们的宽度逼近0.
我们可以考虑先从一个最简单的例子开始，求直线y=f(t)=2t下从t=0到t=1的面积，如下图所示。它的面积借助三角形的知识，可知面积是1.
数学家的目标就是要寻求关于F的某类公式，这样使得我们只需把x代入到F里就可以确定这个面积。
根据F的定义，我们知道F(x+h)是由曲线y=f(t)在t=0到t=x+h之间所围成的面积。因此F(x+h)-F(x)是它们的面积之差。
我们连接(x,f(x))和(x+h,f(x+h))两点，使用梯形面积近似求得不规则带的面积：1/2h[(f(x)+f(x+h))]，F(x+h)-F(x)=不规则带的面积≈梯形面积=1/2h[f(x)+f(x+h)]
变上限积分
定积分的概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积，解决的基本思路是用有限代替无限。
不定积分的概念是为了解决求导和微分的逆运算而提出的。
－4－
4.1 正方形铁皮， 边长为a,截去四角，做成一个无盖的盒子，怎样截角可能做到盒子体积最大？
4.2 一张A4纸大小的铁皮，截去四角，做成一个无盖的盒子，怎样截角可能做到盒子容积最大？
4.3 任意长宽的平面w*L
－5－
5.1 求切线不过是求差，求积分不过是求和 ↓
5.3 割线斜率的极限 ↓
5.4 斜率(间接地逼近) ↓
5.5 求导过程 ↓
5.6 牛顿方法 ↓
5.7 基本求导和积分公式 ↓
5.8 面积函数的导数 ↓
5.9 面积函数的导数是原曲线函数(面积近似于梯形) ↓
5.10 面积函数与曲线函数 ↓
5.11 微积分基本定理的启发式推导 ↓
记得刚参加工作那会，刚好是农村责任田按每家每户人口数量调整的时候。对责任田的丈量涉及到两个知识点，一是单位的换算，农村习惯使用的单位是多少亩多少分的田（1亩=10分=666.67平米）；二是责任田的形状确定的问题。
因为大部分田的形状并不是规整的几何形状，对于形状不规整的田的面积的丈量，其思路也很简单，就是划分出若干小的规整的形状，对于一些形状也可以是割多填少的方式，通过测量每个划分出的小形状（如方形、梯形等）并汇总这些小形状的面积即可。自然，划分得越细，最后求和得出的数据与实际的面积越接近。
The End
联系客服
