王玉起 北京市朝阳区教育研究中心
复习课是根据学生的认知特点和规律，在学习的某一阶段，以巩固、疏理已学知识、技能，促进知识系统化，提高学生运用所学知识解决问题的能力为主要任务的一种课型。 其目的是温故知新，查漏补缺，完善认知结构， 促进学生解题思想方法的形成， 发展数学能力，促进学生运用数学知识解决问题的能力。
复习课是教学中的重要组成部分，其内容、形式、操作方法都与新授课有着鲜明的不同之处。平时教学中点状、零散的知识需要系统化，成为线状、网状。平时学生所学知识的疑惑点需得以澄清，平时所学知识中重要的思想方法需加以提炼，通过复习课能更好的完成上述教学任务，如果说新授课是 “ 画龙 ” ，复习课则是 “ 点睛 ” 。
一个教学阶段的前、中、后或各种考试之前常需要进行复习，比如：课前、课中的随机性复习，章、节的终结性复习，期中、期末的考前复习，中考总复习等。 在课程改革的不断深入中，怎样发挥好复习课的功能？上复习课时应注意哪些问题？一些教师了解不详。针对现阶段初中数学课堂教学中复习课所存在的一些现象，以及广大教师对数学复习课研究的不够系统等现象，我们提出了本课题，力争在数学复习课教学的研究方面给大家一些帮助。
问题提出
复习课中存在的主要问题：
1 ．对知识的单纯重复，只 “ 温故 ” 而不 “ 知新 ” ；
2 ．忽略基础，盲目拔高；
3 ．对复习课没有明确、合理的设计理念；
4 ． 复习课与习题课混而不清；
5 ． 复习课的操作模式单一。
由此造成学生对知识得不到更深刻的理解，能力得不到更好的提高，学习效果无明显进展。 在复习阶段， 如果我们能够转变教学理念，恰当地调整教学设计，帮助学生建立良好的知识体系，就能使复习课的效率 “ 事半功倍 ” 。
解决问题
以下结合复习课的功能，提出一些教师教学行为方面改善的建议。
（一）查漏补缺，矫正偏差，巩固基础。
复习课的教学要根据课程标准的要求，巩固基础知识，对学生掌握知识和技能情况进行查漏补缺，对学生的数学思想、思维方法等方面查漏补缺。
有些复习课占用大量时间采用背诵、默写、齐读、罗列等形式对概念、公式、法则、定理等进行简单重复和再现。这样不利于学生对所学知识的再认识和深入理解。我们可以尝试用下面的办法进行复习：
1. 以小题带概念
复习不是让学生简单重复、再现已学的概念、公式、法则、定理等，而是精心设置一些题组，以带动概念的复习，使学生在具体的题目情境中对所学知识进行再认识，同时加深对知识应用的理解。
例如：例 1 ：
一次函数的复习课 (1)
（ 1 ）下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数：
（ 2 ）一次函数 y =2 x -4 的图象经过 __________ 象限；
y 随 x 增大而 ________ ；
图象与 x 轴交点坐标 ________ ，与 y 轴交点坐标 ________ ；
求图象与 x 轴围成的三角形面积；
当 x 在什么取值范围时 y ＜ 0 ．
例 ： 一次函数的复习课 (2)
（ 3 ）函数 y=2x-4 与 y= -x+2 的图象的交点 M 坐标是 ________ ．
（ 4 ） 与一次函数 y=2x-4 平行且过（ 0 ， 5 ）点，求这个函数的解析式 ___________ ．
用类似的小题复习一次函数和正比例函数的概念，总结一次函数的图象及性质，一次函数与 x 轴， y 轴的交点坐标，理解两直线平行 K 相等，理解函数与方程不等式之间的关系等基础知识，避免学生感到大量文字概念、性质的乏味。
例 2 ： 圆周角定理复习课
通过题组式小题熟练圆周角定理，识别基本图形，掌握解题方法。让学生明确要求圆周角的度数就要找到同（等）弧所对的圆周角或者圆心角。通过这一组有代表性和能说明问题的典型习题，突出圆周角定理的应用，反映新课标关于圆周角定理的内容和要求，通过它们学生会清楚知道哪些内容是必须掌握的知识。
例 3 《函数复习课 判断函数图像》的题组引入：
（ 1 ）分别说出下列图象所表示函数的增减性。
（ 2 ）分别说出下列图象所表示函数的自变量的取值范围和最值。
（ 3 ）下列图象中，符合函数 y=kx+b(k ＞ 0,k,b 为常数 ) ，其中 0 ＜ x ＜ 2 的大致图象是（ D ）
（ 4 ）下列所给图象中，符合函数
这组习题选择的是由函数图象和性质组成的题目，对落实双基具有典型的意义。并且标题中有明确的知识指向性，提示学生要注意的问题，能让全体学生轻松把好 “ 基础关 ” ．
2 ． 展示学生近期作业、练习中的错误。
平时注意搜集学生解题时常犯的错误，复习课时以改错形式重现，通过辨别达到巩固基础，查漏补缺的目的，再类比改编题目，加强对知识的正确理解。
通过这样的辨别，帮助学生查出漏洞，正确计算负指数次幂，零次幂，绝对值，合并同类二次根式及特殊角三角函数值，也可以再选取类似下面的练习题强化。
如：下列计算正确的是（ ）
在复习课中，需要注意错误率比较集中的问题，做好改错反思：错例是澄清概念的最好素材，因此我们要认真地分析、矫正错例。
（二）加强知识之间的横纵向联系，促进知识条理化。
无论是哪种类型的复习课， 教师都需要引导学生按一定的标准对 所学的零碎知识 进行梳理、 归纳、 整合，作不同角度的分类，弄清它们的来龙去脉，沟通其纵横联系，从整体上把握知识结构。
教师可以引导、帮助学生进行知识梳理，让学生课前采用结构框图、表格、树状图、大括号图等形式梳理知识，让学生了解所学的内容之间的联系，并发展其归纳能力。教师展示学生的梳理情况，并补充完善知识体系。
例如：第七章《三角形》的复习课学生课前的活动任务是：系统梳理本章的知识点和思想方法，按三角形概念和分类、性质、应用（数学应用和生活应用）三方面梳理。
课上老师根据学生的梳理完善。
等到学完了全等和轴对称，要对三角形的相关知识进行更系统的复习，纳入更大的知识体系，可以以三角形的两种元素 —— 边和角为 “ 主杆 ” ，引出三角形的分类及边与边、角与角、边与角的相互关系等 “ 分枝 ” ，继而得出各个概念、定理等 “ 树叶 ” ，这样将主要的知识点串连起来，制作如下 “ 树型 ” 知识结构示意图：
以上两个结构框图经过学生自主归纳、课堂交流、教师指导得出，有效地帮助学生梳理了所学知识，改善了平铺式的教师展示模式，让知识结构的归纳更加有意义。
（三）深化提炼数学思想方法。
数学的学习是从厚到薄，又从薄到厚的过程，复习的目的不仅是要使知识系统化，还要对所学的知识有新的认识，对解题的思想方法进行归纳或提炼，使方法系统化，让不同层次的学生都有不同的程度的提高。例如：
第七章《三角形》的复习应深化转化思想、方程思想以及分类讨论思想。
问题 1 一个零件的形状如图所示，按规定 ∠ A 应该等于 90° ， ∠ B 、 ∠ D 应分别等于 20° 和 30° ，李叔叔量得 ∠ BCD=142° ，就断定这个零件不合格，你能说出其中的理由吗？
这是一个生活中的应用问题，零件形状是凹四边形，是我们一般不研究的图形，可是你为什么能这么快的解决这个问题呢？因为你学会了把它转化成你熟悉的三角形问题。连接 AC 并延长，利用三角形外角与内角的关系可知 …
练习 1 如图， △ ABC 中， ∠ A ＝ 40度 ， 把 △ ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部的 A'处时，求 ∠ 1 ＋ ∠ 2 的度数，并说明理由。
连接 AA', 转化成三角形。把这个问题一般化，任意三角形一角折起， ∠ 1 ＋ ∠ 2 与 ∠ A 有什么数量关系？
练习 2 如图， ∠ A+ ∠ B+ ∠ C+ ∠ D+ ∠ E+ ∠ F ＝ ________.
连接 BC 把这个不规则的图形转化成四边形。
练习 3 已知多边形的每一个内角都等于 160° ，求这个多边形的边数。
两种方法解决：（ 1 ）利用多边形内角和公式 180 （ n-2 ） =160n ；（ 2 ）内角转化为外角，每个外角都等于 20 度，则 360÷20=18 ．因为外角和与边数的多少无关，固定是 360 度，所以转化为外角解决这个问题更简单。
问题 1 及练习 1 、 2 、 3 的目的是深化转化的思想方法。
问题 2 在 ΔABC 中，如果 ∠ A=3 ∠ B=6 ∠ C ，求三角形各角的度数。
三个角的度数都是未知的，但知道它们之间的关系，只要想到了设 x ，这个问题很容易解决，如果不设 x ，就很难解决。所以不仅要在解代数应用题时有设 x 的意识，在几何问题中，求角度、求线段长时同样要有设 x 的意识。
练习 4 如图，在 ΔABC 中， AB=AC ＞ BC ，周长为 15cm ， AC 边上的中线 BD 把 ΔABC 分成周长差为 3cm 的两个三角形，求 ΔABC 各边的长 。
问题 2 及练习 4 的目的是深化方程思想。
问题 3 在 ΔABC 中， AB=AC ，周长为 15cm ， AC 边上的中线 BD 把 ΔABC 分成周长差为 3cm 的两个三角形，求 ΔABC 各边的长 .
比较问题 3 与问题 2 有什么区别？
没有图，腰与底的大小关系不确定，有两种情形（有瘦高型和矮胖型两种等腰三角形），分类讨论。
练习 5 如果一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 5 ，则它的周长为 。
如果一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5 ，则它的周长为 。
两边长没有明确是底还是腰，所以要分类讨论，还需注意能否组成三角形的问题。
练习 6 在 ΔABC 中， ∠ B=30° ， AD 是 BC 边上的高， AD 与边 AC 的夹角是 20° ，求 ∠ BAC 的度数。
没有图，高的位置不确定，有两种情形，也需注意分类讨论。
问题 3 及练习 5 、 6 的目的是深化分类讨论的思想意识。当图形不确定时需要注意分类讨论。
（四） 提高实践应用能力
复习不是简单的重复， 系统化不是复习的最终目的， 它的最终目的是 促使学生将所学知识内化迁移、 举一反三、触类旁通， 综合 运用知识解决 实际 问题， 培养学生创新意识和实践能力，提高学生的数学思维品质。可以安排例题变式，如《再探线段和差问题》的例题变式设计：
问题 1 已知：如图，等边 △ ABC 的高为 5 ， D 是 BC 边的中点，
DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为 E 、 F 。
求： DE+DF 的值。
这个问题比较简单，是线段和问题的特殊情形，巩固基础知识，引出直接计算法，又可以给后面的一般问题搭台阶。
问题 2 已知：如图，等边 △ ABC 的高为 5 ， D 是 BC 边上的任意一点， DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为 E 、 F 。
求： DE+DF 的值。
这个问题从特殊到一般，从有具体数值的线段和问题，过渡到后面的抽象定值问题，渗透极端位置猜想法。
让学生一题多解，探索讨论，体会多角度看图形的乐趣提高发散思维和创新思维能力，提高学习兴趣，培养刻苦钻研精神。
问题 3 已知：如图，等腰 △ ABC 中， D 是 BC 边上的任意一点，
DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为 E 、 F 。
求证： DE+DF 为定值。
总结：及时引导学生归纳线段和问题有哪些解决办法：
（ 4 ）面积法 — 思路：看见垂线段 → 可以作为高 → 想到利用面积。
拓展 1 等腰钝角三角形的情形：
拓展 2 ： 点 D 运动到 BC 延长线上的情形：
拓展 3 ： 求证：等边三角形内一点到三边的距离之和为定值。并把这个问题再拓展。
① 一题多问，有利于巩固基础知识，更系统的掌握本单元的基本知识点以及知识点之间的联系。
② 一题多解，对同一问题尽可能鼓励学生超越常规，从不同的角度入手，寻找不同的解题途径，有利于知识、方法的融合贯通，活跃学生的思维，激发创造性。
③ 一题多变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能，激发学习兴趣，培养发散思维和创新能力。
④ 一题多思，引导学生多侧面，多角度，多渠道的思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效训练学生思维的完备性、深刻性。
又如，已知：如图， △ ABC 中， AB=AC ， D 是 AB 上一点， E 是 AC 上一点， DB=CE ， DE 交 BC 于 F ，求证： DF=FE 。
此例是一道典型的一题多解的传统题 ， 揭示了证明思路上重要手法，利用平行构造全等、平行四边形、相似等，给学生提供了开宽的思维空间，具有较强的示范性．本例主要有如下三类证法：
（ 1 ）构造全等三角形：过 D 作 DG ∥ AC 交 BC 于 G ，证 △ DGF ≌△ ECF （或过 E 作 EG ∥ AB 交 BC 的延长线于 G, 证 △ DBF ≌△ EGF ） ； （如图 (1) ）
（ 2 ）构造平行四边形：过 D 作 DG ∥ AC 交 BC 于 D ，连结 DC 、 GE, 证 DG 与 CF 平行且相等得平行四边形 DGEC ，再用平行四边形性质；（如图 (2) ）
（ 3 ）过 D 作 DG ∥ BC 交 AC 于 G ，证 C 是 GE 的中点，（或过 E 作 EG ∥ BC 交 AB 的延长线于 G ，证 B 是 DG 的中点）应用平行出相似。（如图 (3) ）
复习课还应注意的问题
1 ．复习课教学目标的制定应该建立在对前期教学效果及学生学习现状的回顾与反思的基础上制定，目标要力求准确、具体、有针对性。
2 ．要面向全体学生
教学设计的每个环节都要注意照顾各层次的学生，习题训练或考试最好有针对性的编制分层题目，让各类学生都能倾其所学、尽情发挥、各得其所。
3 ．留给学生思考的时间与空间
问题是思维的核心，只有提出了有一定深度的问题，才能引发学生的积极思维，思考需要时间，带有思考性的问题要给学生时间，先让他们独立思考，再进行师生、生生交流才能有效培养各类学生的数学能力。
许多复习题目是从同一道题中演变过来的，其思维方式和所运用的知识完全相同。如果不掌握它们之间的内在联系，就题论题，那么遇上形式稍为变化的题，便束手无策，教师在讲解中，应该引导学生对有代表性的问题进行灵活变换，使之触类旁通 , 培养学生的应变能力，提高学生的技能技巧，可从以下几方面入手：⑴ 寻找其它解法；⑵ 改变题目形式；⑶ 题目的条件和结论互换；⑷ 改变题目的条件；⑸ 把结论进一步推广与引伸；⑹ 串联不同的问题；⑺ 类比编题等。
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