本文是连载中的课程《多变量微积分》中的一课，欢迎同学订阅。
多变量函数的极限是单变量函数极限的扩展，让我们从数列极限的直观开始学习。
在古希腊的时候，人们就知道可以用等边多边形的面积来逼近圆形的面积：
假设用 来表示内接等边 边形的面积，那么可以用一个数列来描述这个逼近过程：
这个数列的极限就是圆形的面积：
可以通过直角坐标系中的图像来展示该数列极限，可以看到随着 的增加，数列越来越逼近圆形的面积：
2.1 单变量函数的极限
对于更一般的单变量函数的极限（数列可以看作是定义域为自然数的函数）：
如果
那么极限 可以解读为，当 沿着上述的点逼近 时，对应的函数值 也不断逼近 ：
2.2 多变量函数的极限
这种观点是可以推广到多变量函数的极限上去的，比如二元函数的极限：
其中的 可以看作，在 的去心邻域内，从四面八方逼近 的点列：
那么二元函数的极限就是，当
虽然直观看上去极限并不难理解，但由于数学上的原因（这在课程《单变量微积分》中解释过了，这里不再赘述），一元函数极限的严格定义并不简单。
3.1 一元函数极限的严格定义
设函数 在 上有定义。如果存在常数 ，对任意给定的正数
对应的函数值 都满足不等式：
那么常数 就叫做函数 当 的极限，记作：
那么以 为中心，
并且不论
如果满足上面所说的，那么有：
3.2 回归直观
如果把每次找到的 的边界点保留下来：
沿着这些点列靠近 ，对应的函数值就会不断逼近 ，这又回到了之前我们对极限的直观上了：
二元函数的极限定义和一元函数类似，只是由于二元函数的邻域更复杂，所以需要引入聚点的概念：
比如下面的点 就是一个聚点，随便怎么缩小它的去心领域的半径，去心邻域内总有平面点集 中的点：
定义聚点是为了保证，从 的某去心邻域内的某一点 出发，至少能找到一串完全在 中的点来靠近 ：
也就是说，聚点保证了下面这个极限过程是可行的、是存在的：
弄清楚聚点之后，下面可以给出二元函数极限的定义了：
都有：
成立，那么就称常数 为函数 当 时的极限，记作：
因为这是二元函数的极限，所以也称作 二重极限 。
5.1 与一元函数极限的区别
二重极限和一元函数极限定义相比，最大的区别在于：
在一元函数中，函数的定义域和去心邻域合二为一。而在二元函数中，函数的定义域 和去心邻域
并且 是 的聚点，这样可以保证无论 多小，去心邻域和定义域 总是有相交部分的（当然也保证了能有一串靠近 的点列）：
剩下的部分就和一元函数极限的定义差不多了。
5.2 二重极限定义的几何意义
假设二元函数 在 有极限 ：
那么以 为中心，
对应的函数值都在该区间内：
当然，同一元函数的极限相同，随着
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