【高中数学】指数函数与对数函数典型例题

例1.（1）下图是指数函数（1）y＝a^x，（2）y＝b^x，（3）y＝c^x，（4）y＝d^x的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（    ）

A. a＜b＜1＜c＜d 

B. b＜a＜1＜d＜c

C. 1＜a＜b＜c＜d 

D. a＜b＜1＜d＜c

剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小。

解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c。故选B。

解法二：令x＝1，由图知c¹＞d¹＞a¹＞b¹，∴b＜a＜1＜d＜c。

（2）已知2

≤（

）^x－2，求函数y＝2^x－2^－x的值域。

解：∵2

≤2^{－2（x－2）}，∴x²＋x≤4－2x，

即x²＋3x－4≤0，得－4≤x≤1。

又∵y＝2^x－2^－x是［－4，1］上的增函数，

∴2^－4－2⁴≤y≤2－2^－1。

故所求函数y的值域是［－

，

］。

（3）要使函数y＝1＋2^x＋4^xa在x∈（－∞，1）上y＞0恒成立，求a的取值范围。

解：由题意，得1＋2^x＋4^xa＞0在x∈（－∞，1）上恒成立，

即a＞－

在x∈（－∞，1）上恒成立。

又∵－

＝－（

）^2x－（

）^x

＝－［（

）^x＋

］²＋

，

当x∈（－∞，1）时值域为（－∞，－

），

∴a＞－

。

评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法。

例2. 已知f（x）＝log

［3－（x－1）²］，求f（x）的值域及单调区间。

解：∵真数3－（x－1）²≤3，

∴log

［3－（x－1）²］≥log

3＝－1，

即f（x）的值域是［－1，＋∞］。

又3－（x－1）²＞0，得1－

＜x＜1＋

，

∴x∈（1－

，1）时，3－（x－1）²单调递增，从而f（x）单调递减；

x∈［1，1＋

］时，f（x）单调递增。

例3. 若f（x）＝x²－x＋b，且f（log₂a）＝b，log₂［f（a）］＝2（a≠1）。

①求f（log₂x）的最小值及对应的x值；

②x取何值时，f（log₂x）＞f（1）且log₂［f（x）］＜f（1）？

解：①∵f（x）＝x²－x＋b，

∴f（log₂a）＝log₂²a－log₂a＋b。

由已知有log₂²a－log₂a＋b＝b，

∴（log₂a－1）log₂a＝0。

∵a≠1，

∴log₂a＝1，∴a＝2。

又log₂［f（a）］＝2，

∴f（a）＝4。

∴a²－a＋b＝4，b＝4－a²＋a＝2。

故f（x）＝x²－x＋2，

从而f（log₂x）＝log₂²x－log₂x＋2＝（log₂x－

）²＋

。

∴当log₂x＝

即x＝

时，f（log₂x）有最小值

。

②由题意

 

0＜x＜1。

例4. 设f（x）＝log₂

，F（x）＝

＋f（x）。

（1）试判断函数F（x）的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；

（2）若f（x）的反函数为f^－1（x），证明：对任意的自然数n（n≥3），都有f^－1（n）>

；

（3）若F（x）的反函数为F^－1（x），证明：方程F^－1（x）＝0有惟一解。

解：（1）由

>0，且2－x≠0得F（x）的定义域为（－1，1），设－1＜x₁＜x₂＜1，则

F（x₂）－F（x₁）＝（

）＋（

）

，

∵x₂－x₁>0，2－x₁>0，2－x₂>0，

∴上式第2项中对数的真数大于1。

因此F（x₂）－F（x₁）>0，F（x₂）>F（x₁），

∴F（x）在（－1，1）上是增函数。

（2）证明：由y＝f（x）＝

得：2^y＝

，

∴f^－1（x）＝

，∵f（x）的值域为R，

∴f^－－1（x）的定义域为R。

当n≥3时，

f^－1（n）>

。

（3）证明

  ∵F（0）＝

，∴F^－1（

）＝0，

∴x＝

是F^－1（x）＝0的一个根。

假设F^－1（x）＝0还有一个解x₀（x₀≠

），

则F^－1（x₀）＝0，

于是F（0）＝x₀（x₀≠

）。这是不可能的，

故F^－1（x）＝0有惟一解。