万有引力与天体运动专题复习
近几年来，随着我国载人航天的成功、探月计划的实施、空间站实验的推进及宇宙探索的进一步深入，以此为题材的试题也成了高考中的热点内容，试题注重把万有引力定律和圆周运动结合起来进行综合考查，要求考生有较强的运算推理、信息提取能力和应用物理知识解决实际问题的能力。
处理天体的运动问题时，一般来说建立这样的物理模型：中心天体不动，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到的中心天体的万有引力提供环绕天体做匀速圆周运动的向心力，结合牛顿第二定律与圆周运动规律进行分析，一般来说有两个思路：一是环绕天体绕中心天体在较高轨道上做匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，即
=mω2r=m r=man，二是物体绕中心天体在中心天体表面附近作近地运动，物体受到的重力近似等于万有引力， (R为中心天体的半径)。
例题：（2011天津）质量为m的探月 航天器在接近 月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的
A．线速度 B．角速度 C．运行周期 D．向心加速度
解析：万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，
航天器在接近 月球表面的轨道上飞行, 代入相关公式即可，正确答案为AC。
针对练习1：（2011浙江）为了探测X星球，载着登陆 舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则
A. X星球的质量为 B. X星球表面的重力加速度为
C. 登陆舱在 与 轨道上运动是的速度大小之比为
D. 登陆舱在半径为 轨道上做圆周运动的周期为
解析：根据 、 ，可得 、 ，故A、D正确；登陆舱在半径为 的圆轨道上运动的向心加速度 ，此加速度与X星球表面的重力加速度并不相等，故C错误；根据 ，得 ，则 ，故C错误。
点评：天体作圆周运动时向心力由万有引力提供，即 =mω2r=m r=man。式中的r为两天体中心之间的距离，V为环绕线速度，T为环绕周期。
由 可得： r越大，V越小；由 可得： r越大，ω越小；由 可得： r越大，T越大。由 可得： r越大，a向越小。由此可见，卫星运行轨道半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在着一一对应的关系，若r、v、ω、T、a中有一个确定，则其余皆确定，与卫星的质量无关。
针对练习2：（湖南省2012年十二校联考）我国和欧盟合作正式启动伽利略卫星导航定位系统计划，这将结束美国全球卫星定位系统（GPS) —统天下的局面.据悉，“伽利略”卫星定位系统将由30颗轨道卫星组成，卫星的轨道高度为2.4X104km，倾角为56°，分布在3个轨道面上，每个轨道面部署9颗工作卫星和1颗在轨备份卫星，当某颗工作卫星出现故障时可及时顶替工作.若某颗替补卫星处在略低于工作卫星的轨道上，则这颗卫星的周期和速度与工作卫星相比较，以下说法中正确的是（Ｃ）
A、替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度
B、替补 卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度
C、 替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度
D、替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度
天体作圆周运动时向心力由万有引力提供，即 =mω2r=m r=man。由上式知，若能测出行星绕中心天体运动的某些物理量，则可求出中心天体的质量，一般情况下是通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。当卫星沿中心天体表面绕天体运行时，中心天体的密度为：ρ＝ 。
例题：（06北京卷）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量
A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期 D.行星的质量
解析：本题涉及万有引力定律的应用，主要考查灵活选用公式解决物理问题的能力。万有引力提供向心力，则 ，由于飞行器在行星表面附近飞行，其运行半径r近似等于行星半径，所以满足M＝ρ ，联立得：ρ＝ 。
针对练习1：（2005年广东物理）已知万有引力常量为G，地球半径为R，月球与地球之间的距离为r，同步卫星距离地面高度h,月球绕地球运动的周期T1，地球自转周期T2，地球表面的重力加速度g，某学生根据以上条件，提出一种估算地球质量的方法：同步卫星绕地心作圆周运动，由 =m h 得M=
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法与结果。
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
解析：（1）上面的结果是错误的。地球的半径在计算中不能忽略。
正确的解法与结果是： = M= ）
(2)方法一：对月球绕地球作圆周运动由 = ，M=
方法二：在地面重力近似等于万有引力，由 =mg，M=
点评：此题注重了天体运动基础知识的考查，试题具有开放性，真正考查了学生的能力。
针对练习2：（10安徽卷）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为 和 的圆轨道上运动时，周期分别为 和 。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
解析：由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有
； ，可求得火星的质量 和火星的半径 ，根据密度公式得： 。在火星表面的物体有 ，可得火星表面的重力加速度 ，故选项A正确。
人造卫星有三种宇宙速度：第一宇宙速度(环绕速度)：是发射地球卫星的最小速度，也是卫星围绕地球做圆周运动的最大运行速度，大小为7.9 km/s。第二宇宙速度(逃逸速度)：是人造卫星挣脱地球束缚而成为一颗太阳的人造小行星的最小发射速度，大小为11.2 km/s。第三宇宙速度(脱离速度)：是人造卫星挣脱太阳的束缚而成为一颗绕银河系中心运行的小恒星的最小发射速度，大小为16.7 km/s。三个宇宙速度的大小都是以地球中心为参考系的，人造卫星的理论发射速度在7.9 km/s到11.2 km/s之间，在此发射速度范围内，卫星绕地球作椭圆运动，其他星球上都有各自的宇宙速度，计算方法与地球相同。
例题1：关于第一宇宙速度，下列说法 正确的是（ AC ）
A、它是人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动的最大速度。
B、它是人造地球卫星在圆形轨道上的最小运行速度。
C、它是能使卫星绕地球运行的最小发射速度。
D 、它是人造卫星绕地球作椭圆轨道运行时在近地点的速度。
例题2：(2011北京)由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的（A）
A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同
C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同
点评：地球轨道同步卫星有四个特点：(1)同步卫星位于赤道正上方，轨道平面与赤道平面共面；
（2）同步卫星的轨道半径一定，距离地球表面的高度一定，约36000 km；(3)同步卫星的运行周期和地球的自转周期相同，T＝24 h，且转动方向相同；(4)所有地球轨道同步卫星的半径、线速度大小、角速度大小及周期都相同，故A正确。
针对练习1:(2011广东)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是( )
A.卫星距离地面的高度为
B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C.卫星运行时受到的向心力大小为
D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
解析：根据 ，A错，由 ，B正确，由 ，C错D对。选BD
针对练习2:同步卫星离地球球心的距离为r，运行速率为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R。则( B )
① a1:a2=r :R ② a1:a2=R2:r2 ③ v1：v2=R2:r2 ④
A、①③ B、①④ C、②③ D、②④
解析：此题涉及三个物体，一是同步卫星，对应物理量a1 v1 r；二是近地卫星，即第一宇宙速度对应的卫星，对应物理量v2 R；三是地面上的物体，对应物理量a2 R。同步卫星和近地卫星都只受万有引力，对同步卫星有， ， ，对近地卫星有， 所以, 故④正确。对同步卫星和地面上的物体，它们的角速度相同，由a=ω2r知，a1:a2=r :R，故①正确。此题易错之处是把a2 ，v2看成是同一个物体所对的物理量。
四、天体运动中的变轨问题
天体运动的变轨问题涉及变轨过程和变轨前后天体的稳定运动，主要讨论天体在不同轨道上运动过程中的速度、加速度、周期等相关物理的分析与比较，解题时应注意两个关键，一是变轨过程中两轨道相切点的特点，二是天体从低轨道变轨运动到高轨道时天体的机械能增加。
例题1：（10江苏卷）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有
（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
（B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
（C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
（D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
解析：A为轨道Ⅱ与轨道Ⅰ的相切点，距离地心的距离相等，故卫星在A点处所受的万有引力大小相等，都为 ，由 知卫星从轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上通过A点时的加速相同故，D错误。B为轨道Ⅱ的近地点，A为远地点，由开普勒定律知，在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度，故A正确。卫星由I轨道变到II轨道要减速，所以B正确。
由的速度小于经过B的速度。根据开普勒定律， ， ，所以 。C正确。故正确答案为ABC。
例题2：（10天津卷）探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比
A.轨道半径变小 B.向心加速度变小
C.线速度变小 D.角速度变小
解析：探测器变轨后在周期较小的轨道上运动，则可知探测器的轨道半径减小，A对。
根据 得 ，可知变轨后飞船的线速度变大，C错；由 ，角速度变大，D错，由 ，向心加速度增大，B错。本题答案A。
针对练习1：2011年11月３日凌晨，中国自行研制的神舟八号飞船与天宫一号目标飞行器在距地球３４３公里的轨道实现自动对接，为建设空间站迈出关键一步。神舟八号飞船与天宫一号目标飞行器在同轨道上运动，若神舟八号飞船与天宫一号目标飞行器对接，为了追上天宫一号目标飞行器，飞船可采取的办法有（ B ）
A.飞船加速直到追上空间站完成对接
B.飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站对接
C.飞船从原轨道加速至一个较低轨道，再减速追上空间站对接
D.无论飞船采取什么措施，均不能与空间站对接 [来源:Z,xx,k.Com]
针对练习2：（09年山东卷）2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是
| P |
| 地球 |
| Q |
| 轨道1 |
| 轨道2 |
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据 可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。答案为BC。
五、天体运动中的星系问题
天体运动中的星系问题主要有“双星”系与“多星”系。“双星”系是两颗星相距较近，它们绕着连线上的共同“中心”以相同的周期做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供提供做圆周运动的向心力。分析“双星”问题时，一是要确定双星运动的中心，依据卫星做圆周运动的轨道平面，求出轨道半径；二是求出卫星做圆周运动的向心力，同时要注意双星运动的特点，即双星的运动周期相等，向心力大小相等。“多星”系有指“三星”或“四星”等几种情况，其特点是星系中某个卫星在其他星球的引力共同作用下绕中心作圆周运动，同一系统中各天体间的距离不变，各星受到的向心力不一定相等，但其运动周期一定相同。在星系问题中要注意区分两个半径，即由万有引力规律求向心力时的引力半径与卫星绕中心天体做圆周运动的轨道半径。
例题：（10全国卷1）如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
1、求两星球做圆周运动的周期。
2、在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
解析：⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有
， ，连立解得 ，
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得
化简得
⑵将地月看成双星，由⑴得
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
化简得
所以两种周期的平方比值为
例题2：（06广东物理卷）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为 。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
| F2 |
| F1 |
| R |
解析：（1）第一种形式下，以某个运动星体为研究对象，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：
F1＝G F2＝G F1＋F2＝m
运动星体的线速度：
周期为T，则有：
（2）第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体作圆周运动的半径为R/为
R/＝
由于星体作圆周运动所需的向心力靠两个星体的万有引力的合力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：
| F2 |
| F1 |
| F
|
| R/ |
| r |
F ＝2 cos30°
F ＝m
°＝
所以星体之间的距离为：r
六、卫星运动中的超失重问题
卫星的运动经常涉及卫星的发射、运行和回收三个过程，这三个过程中由于重力在不同的阶段起着不同的作用，卫星或其内部的物体会发生不同程度的超失重现象．卫星通过火箭发射升空过程中向上加速，出现超重现象；进入轨道运行后，万有引力全部用于提供向心力，出现完全失重现象；卫星在回收进入地面，减速下降，出现超重现象，在超失重现象中卫星所受重力不变。
例题1：关于“神舟七号”飞船的运动，下列说法中正确的是( )
A．点火后飞船开始做直线运动时，如果认为火箭所受的空气阻力不随速度变化，同时认为推力F(向后喷气获得)不变，则火箭做匀加速直线运动
B．入轨后，飞船内的航天员处于平衡状态
C．入轨后，飞船内的航天员仍受到地球的引力用，但该引力小于航天员在地面时受到的地球对他的引力
D．返回地面将要着陆时，返回舱会开启反推火箭，这个阶段航天员处于失重状态
解析：火箭上升过程中，离地越来越高，万有引力减小．根据牛顿第二定律F-f=ma，加速度将改变，因此不是匀加速．入轨后，航天员与飞船一起绕地球做圆周运动，所以不是平衡状态而是完全失重状态．返回时，减速下降，超重．所以正确答案为C。．
例题2：（06上海理综）一艘宇宙飞船在预定轨道上做匀速圆周运动，在该飞船的密封舱内，下列实验能够进行的是
|
|
解析：飞船在预定轨道上做匀速圆周运动，飞船内的一切物体都处于完全失重状态，与重力有关的现象现象都消失，故正确选项为C。
点评：卫星处于完全失重状态时与重力有关的现象现象都消失，卫星或卫星上的物体所受地球引力全部作为环绕地球运动的向心力，因而不会产生与其他物体挤压、拉伸等形变效果。因此，卫星所携仪器凡工作原理与重力作用效果有关的，在卫星上均无法使用，其相关物理实验也不能完成，如天平称物体的质量，用弹簧秤测物体的重量，用打点计时器验证机械能守恒定律，用水银气压计测飞船上密闭仓内的气体压强等。
天体运动中的能量问题主要涉及到天体的动能、所在轨道处引力势能及机械能，它们均与轨道半径有关。分析这类问题时要注意，当轨道半径大时，动能反而小，把卫星发射到高轨道过程中，克服引力做功多，所需的机械能也大，卫星在高轨道上的机械能比低轨道上机械能大，而卫星在同一轨道上运动时机械能认为是守恒的。
例题1：（2011全国卷1）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比，
A．卫星动能增大，引力势能减小
B．卫星动能增大，引力势能增大
C．卫星动能减小，引力势能减小
D．卫星动能减小，引力势能增大
解析：周期变长，表明轨道半径变大，速度减小，动能减小,引力做负功故引力势能增大选D
针对练习1、（07北京卷）不久前欧洲天文学就发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯581c”。该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的1.5倍。设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人造卫星的动能为 ，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的形同质量的人造卫星的动能为 ，则 为（ C ）
A、0.13 B、0.3 C、3.33 D、7.5
解析：由万有引力提供向心力知, 则动能 ,若地球质量为M,半径为R,则“格利斯581 c”行星的质量M1=5M,半径R1=1.5R,代入数值得:
针对练习2:（07全国卷Ⅱ）假定地球、月亮都是静止不动，用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器。假定探测器在地球表面附近脱离火箭。用W表示探测器从脱离火箭处飞到月球过程中克服地球引力做的功，用 表示探测器脱离火箭时的动能，若不计空气阻力，则（ BD ）
A、 必须大于或等于W，探测器才能到达月球 B、 小于W，探测器也可能到达月球
C、 = W，探测器一定能到达月球 D、 = W，探测器一定不能到达月球
解析：设月球引力对探测器做的功为W1，根据动能定理可得：－W＋W1＝0－Ek，根据 可知，F地＞F月，W＞W1，故BD选项正确。此题易错点之处，学生不能用动能定理列出方程，不能根据 和W＝Fscosα准确判断出W＞W1。
八、天体运动中的综合信息问题
宇宙是一片广袤的天地，随着科学家们对宇宙空间探索与研究深入，以宇宙探索为信息题材的试题也应运而生，此类试题以万有引力定律和天体运动为基石，要求考生能从题材中提取有效信息，建立合理的物理模型，注重考查了学生的知识迁移能力和信息处理的能力。
例题1：在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀学说”，宇宙是由一个大爆炸的火球开始形成的，大爆炸后各星球即以不同的速度向外运动。这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（ ）
（A）公转半径r较大 （B）公转周期T较小 （C）公转速率v较大（D）公转角速度w较小
解析：由于G变小，万有引力变小，向心力不足，地球做离心运动，万有引力做负功，地球动能减少，因而速度减小，半径增大，A对，C错；根据开普乐定律可知，周期的平方与半径三次方之比还是常数，因而周期增大，B错；由角速度与线速度、半径的关系，可知公转角速度减，D对。
正确答案为AD。
例题2：已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度） ，其中 分别是引力常量、地球的质量和半径。已知
，求下列问题：
(1)逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞。设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）。
(2)在目前天文观察范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物质都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
解析：(1)由题目提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度
其中M、R为天体的质量和半径。对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即v2＞c，
所以，R＜ ，
即质量为1.98×1030kg的黑洞的最大半径约为2.94×103m。
(2)把宇宙视为一普通天体，则其质量为
其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的平均密度，则宇宙所对应的逃逸速度为
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v2＞c。
则由以上三式可得
R＞ ，合4.24×1010光年，即宇宙的半径至少为4.24×1010光年。
点评：黑洞是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力。分析黑洞问题，一定要抓住其本质，黑洞其实也是个星球,只不过它的密度极大，靠近它的物体都被它的引力所约束，即使是光子也逃不出它的引力约束，光子到黑洞表面时也将被吸入，最多恰能绕黑洞表面做圆周运动。
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