初一数学同步:数轴、线段知识拓展之圆周率伴侣线段

2019-01-16

升入初中以后,很多同学感觉数学难学,其中的一个重要原因,就是新题型层出不穷,让人眼花缭乱,所以成绩不理想的时候,很多同学就会说,考试的题目老师都没讲过。这就有点冤老师了,能把知识用你能接受的方式讲解出来,能把尽可能遇到的题型归纳给你,讲到你懂这就是好老师了,你就偷着乐吧!

我们都读过《西游记》,我们都知道有个采天地灵气,受日月精华幻化成人形的妖精,叫白骨精,一会儿变成美少妇,一会变成老妇人,一会儿又变成老公公,但终逃不出孙大圣的火眼金睛,才有了“三打白骨精”这段脍炙人口的故事。数学的学习也想这样,不管题目的样式怎么变,题型拆开了、组合上总有相似之处,知识点揉碎了、捏圆了也总是那么多,超不了大纲,出不了圈,只是我们要练就一双“火眼金睛”,做一个数学学习上的降妖好手。

不说那么多了,看今天的题目吧!如上图1-①中所示,点C在线段AB上,我们假设两条线段之间的关系可以表示为BC=πAC,那么我们就称点C是线段AB的圆周率点,线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段。

【概念探索】

(1)若AC=6,则AB=

(2)若点D也是图1-①中线段AB的圆周率点(不同于点C),则AC BD;(填“=”或“≠”)

【知识延伸】

如图2-①,我们假设拿一个直径为1个单位长度的硬币,将硬币圆圈上的某点与数轴上表示1的点重合,并把硬币沿数轴向右无滑动地滚动1周,该点到达点P的位置.

(3)若点M、N是线段OP的圆周率点,求MN的长;

(4)图2-②中,若点Q在射线OP上,且线段PQ与以O、P、Q中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段,请直接写出点Q所表示的数。

前面两个问题应该很简单吧?直接照着题目给的定义代入一下就行,可以看成是线段比例的问题,(1)根据它们之间的关系可以这么做:

∵BC=πAC且AC=6,代入得

∴BC=6π,

∴AB=AC+BC=6π+6.

故答案为:6π+6;

(2)根据题意,点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合,可以作图,如图1-②所示,也就是说,这时有两组互为圆周率伴侣的线段,即AC和BC;AD和BD。很显然:

∵AB=AD+BD,AB=AC+BC,

∴AC=BD

故答案为:=。

(3)我们分析一下,直径为1个单位长度的硬币是从数轴上的“1”个单位长度处(设为M点),滚动一周后到达P点,经过的路程刚好是π个单位长度,那么P点表示的数是π+1,因此OM=1,MP=π,OP=π+1,此时,点M是线段OP的圆周率点,如图2-①所示。由此我们也可以类似于第(2)中一样推理出N的位置,并且OM=PN=1,那么

MN=OP-OM-PN=π+1-1-1=π-1;

(4)这一问有些难度,而且我们要用到分类讨论的思想,也即是要分两种情况:一种是Q点在OP之间,很简单,我们上面已经得到了答案,Q点表示两个数1或者π;第二种情况,Q点在P点右边,这时也代表两个数字,

①如果我们把OP看做定义中较短的那部分线段AC,那么PQ=πOP,

∵OP=π+1,PQ=πOP,

∴OQ=OP+PQ,

=π+1+π(π+1),

2+2π+1(受格式限制应为π的平方+2π+1,特注明)

即:Q点表示的数为π2+2π+1(受格式限制应为π的平方+2π+1,特注明)。

②如果我们把OP看做定义中较长的的那部分线段BC,那么OP=πPQ,

∵OP=π+1,OP=πPQ,

∴PQ=(π+1)/π

= 1+1/π

∴OQ =OP+PQ,

=π+1+1+1/π,

=π+1/π+2,

即:Q点表示的数为π+1/π+2。

综上所述:Q点表示的数有四个:1;π;π2+2π+1;π+1/π+2。

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