七年级:数轴动点问题

数轴动点问题是七年级的重难点,涉及数轴、绝对值、整式、方程、绝对值方程、行程问题等诸多知识点。综合性比较强,但有一点不变,就是方程思想,用字母(通常时间t)表示出动点是突破的关键。

典型例题1

已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度,点A在原点的左边,距离原点8个单位长度,点B在原点的右边。

(1)求两点A、B所对应的数

(2)数轴上点A以每秒1个单位长度出发向左运动,同时点B以每秒3个单位长度的速度向左运动,在点C处追上了点A,求C点对应的数

(3)已知在数轴上点M从点A出发向右运动,速度为每秒1个单位长度,同时点N从点B出发向右运动,速度为每秒2单位长度,,设线段NO的中点为P(O为原点),在运动过程中线段PO-AM的值是否变化?若不变,求其值;若变化,请说明理由

解析:

(1)A=-8,B=20;

(2)追及问题:B追上A的时间是28÷(3-1)=14(s),因此可以求C是:C=-8-14×1=-22

(3)t秒后,AM=t,ON=20+2t,所以可得OP=(20+2t)÷2=10+t

∴PO-AM=10+t-t=10

∴PO-AM的值不变,其值是10

典型例题2

已知数轴上有A,B,C三点,分别代表-24,-10,10,两只电子蚂蚁甲,乙分别从A,C两点同时相向而行。甲的速度为4个单位/秒。

(1)问多少秒后甲到A,B,C的距离和为40个单位?

(2)若乙的速度为6个单位/秒,两只电子蚂蚁甲,乙分别从A,C两点同时相向而行,问甲,乙在数轴上的哪个点相遇?

(3)在(1)(2)的条件下,当甲到A,B,C的距离和为40个单位时,甲调头返回,问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能,求出相遇点;若不能,请说明理由。

解析:

(1)若甲在AC之间,甲到A 和C的距离和是34,因此只需甲到B的距离为40-34=6即可,而甲在C右边时,甲到A、B、C距离和超过40.

因为AB=14

所以,甲在AB之间,甲B=6,t=(14-6)÷4=2(秒);甲在BC之间,甲B=6,t=(14+6)÷4=5(秒)

(2)相遇时间:34÷(4+6)=3.4(秒),相遇点:-24+3.4×4=-10.4

(3)由(1)知若甲在AB之间,此时甲B=6,t=2秒,

此时甲乙相距距离是:34-(4+6)×2=14,

乙追上甲时间是:14÷(6-4)=7(秒)

若甲在BC之间,此时甲B=6,t=5秒,此时甲乙已经相遇,因甲速度小于乙速度,故不可能再相遇。

典型例题3

已知数轴上两点A,B对应的数分别为-1,3,点P为数轴上一动点,其对应的数为x。

(1)若点P到点A,点B的距离相等,求点P对应的数。

(2)数轴上是否存在点P,使点P到点A,点B的距离之和为5?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由。

(3)当点P以每分钟1个单位长的速度从O点向左移动时,点A以每分钟5个单位长的速度向左运动,点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P点到点A,点B的距离相等?

解析:

(1)此时P是AB中点,由中点公式可得x=(-1+3)÷2=1

(2)因为AB=3-(-1)=4,因此P不可能在AB之间。

若P在A的左边,则PA距离是:(5-4)÷2=0.5,此时 x=-1-0.5=-1.5

若P在B的右边,则PB距离是:(5-4)÷2=0.5,此时 x=3+0.5=3.5

(3)t秒后。P为-t, A为-1-5t, B为3-20t,

若P为AB中点:-t×2=-1-5t+3-20t, 解得t=2/23

若AB重合:-1-5t=3-20t, 解得t=4/15

典型例题4

已知点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且Ia+4I+Ib-1I=0,A,B之间的距离记作AB。

(1)求线段AB的长;

(2)设点P在数轴上对应的数为x,当点PA-PB=2时,求x的值;

(3)若点P在A的左侧,M,N分别是PA,PB的中点,当点P在A的左侧移动时,式子PN-PM的值是否发生改变?若不变,请求其值;若发生变化,请说明理由。

解析:

(1)明显a=-4,b=1,所以AB=5;

(2)因为PA-PB=2,可知PA>PB,所以P在AB之间或B的右边。

若P在B的右边,则PA-PB=5,不可能

若在AB之间,则PA+PB=5,PA-PB=2,可得PA=3.5,因此x=-0.5

(3)如下图

PN-PM=(PB-PA)×0.5=5×0.5=2.5

典型例题5

已知数轴上有A、B两点对应数是a,b.满足Ia+1I+(b-3)2=0,点P是数轴上一动点,其对应数是m。

(1)求线段AB长;

(2)点C在数轴上对应x,且x是方程2x-4=0.5x+2的解,在AB之间是否存在点P,使得PA+PB=PC,若存在,求P对应数,若不存在,说明理由;

(3)在(1),(2)条件下,当点P以每分1个单位的长度从O向左运动,点A以每分5个单位向左运动,点B以每分20个单位向左运动,问它们同时出发几分后,A到P,B距离相等。

解析:

(1)AB=4

(2)解方程得x=4,而PA+PB=4,所以PC=4,可得P为0

(3)t分后。P为-t, A为-1-5t, B为3-20t,

若A为PB中点:(-1-5t)×2=-t+3-20t, 解得t=5/11

若PB重合:-t=3-20t, 解得t=3/19

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