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提高认知,你才能在中考数学里自“圆”其说

对于圆这一块知识内容,我相信大家并不陌生,早在小学课本当中就安排了一定的学习内容,因此,圆可以说是我们接触最早的几何知识内容之一。

纵观近几年全国各地中考数学试题,结合与圆有关的知识概念和性质等形成的题型,一般会以填空题、选择题、解答题等多种形式来考查考生,在中考占有一定的分值。

中考会考查到的考点有垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等,这些重要知识点会在很多综合性问题当中得到体现。如利用圆的知识与函数、方程等相结合作为中考压轴题,此类题型占有非常重要的地位;与圆有关的实际应用题,阅读理解题,探索存在性问题仍是中考数学的热门题型,大家一定要加以重视。

典型例题分析1:

如图,⊙P与y轴相切于坐标原点O(0,0),与x轴相交于点A(5,0),过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B,与⊙P交于点C.

(1)已知AC=3,求点B的坐标;

(2)若AC=a,D是OB的中点.问:点O、P、C、D四点是否在同一圆上?请说明理由.如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为O1,函数y=k/x的图象经过点O1,求k的值(用含a的代数式表示).





考点分析:

相似三角形的判定与性质;待定系数法求反比例函数解析式;直角三角形斜边上的中线;勾股定理;圆周角定理;计算题。

题干分析:

(1)此题有两种解法:解法一:连接OC,根据OA是⊙P的直径,可得OC⊥AB,利用勾股定理求得OC,再求证Rt△AOC∽Rt△ABO,利用其对应变成比例求得OB即可;

解法二:连接OC,根据OA是⊙P的直径,可得∠ACO=90°,利用勾股定理求得OC,过C作CE⊥OA于点E,分别求得CE、0E,设经过A、C两点的直线解析式为:y=kx+b.

把点A(5,0)、C(16/5,,12/5)代入上式解得即可.

(2)连接CP、CD、DP,根据OC⊥AB,D为OB上的中点,可得CD=OB/2=OD,求证Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形,可得PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等,由上可知,经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点,圆心O1(OP/2,OD/5),由(1)知:Rt△AOC∽Rt△ABO,可得AC/OA=OA/AB,求得:AB、OD即可.

解题反思:

此题主要考查相似三角形的判定与性质,待定系数法求反比例函数关系式,直角三角形斜边上的中线,勾股定理,圆周角定理等知识点的理解和掌握,综合性较强,有一定的把高难度,属于难题.

​解与圆有关的综合问题时候,常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形,从而方便求解。中考试题这样的做的目的,既能充分考查学生的几何综合应用能力,又能考查学生灵活运用知识的创新思维能力。

典型例题分析2:

如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作⊙O分别交AC,BM于点D,E.

(1)求证:MD=ME;

(2)填空:

①若AB=6,当AD=2DM时,DE= ;

②连接OD,OE,当∠A的度数为 时,四边形ODME是菱形.


考点分析:

菱形的判定.

题干分析:

(1)先证明∠A=∠ABM,再证明∠MDE=∠MBA,∠MED=∠A即可解决问题.

(2)①由DE∥AB,得DE/AB=MD/MA即可解决问题.

②当∠A=60°时,四边形ODME是菱形,只要证明△ODE,△DEM都是等边三角形即可.

解题反思:

本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,记住菱形的三种判定方法,属于中考常考题型.

典型例题分析3:

如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D,连接OA,此时有OA∥PE.

(1)求证:AP=AO;

(2)若tan∠OPB=1/2,求弦AB的长;

(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形,则能构成菱形的四个点为 ,

能构成等腰梯形的四个点为 .


考点分析:

垂径定理;勾股定理;菱形的判定;等腰梯形的判定;锐角三角函数的定义;证明题。

题干分析:

(1)由已知条件“射线PG平分∠EPF”求得∠DPO=∠BPO;然后根据平行线的性质,两直线OA∥PE,内错角∠DPO=∠POA;最后由等量代换知∠BPO=∠POA,从而根据等角对等边证明AP=AO;

(2)设OH=x,则PH=2x.作辅助线OH(“过点O作OH⊥AB于点H”),根据垂径定理知AH=HB=AB/2;又有已知条件“tan∠OPB=1/2”求得PH=2OH;然后利用(1)的结果及勾股定理列出关于x的一元二次方程,解方程即可;

(3)根据菱形的性质、等腰梯形的判定定理填空.

解题反思:

本题综合考查了垂径定理、勾股定理、菱形的性质、等腰梯形的判定定理及锐角三角函数的定义.解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算.

不管是何种题型,以什么样的知识内容为考查背景,都需要考生具备一定的解题能力,特别是对于分析问题和解决问题的能力,中考数学一直以来相当的重视。

因此,我们要将圆有关知识归类、整理,结合自身的实际情况,针对相关习题训练,关注一些难点,如圆在直线、角的顶点处、几何图形中的运动问题,通过问题背景、解决过程、反思过程等方式提高自身综合能力。

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