【例题】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20这三个数都是神秘数.
(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
【分析】(1)根据新定义直接判断;
(2)通过计算两个连续偶数为2k+2和2k的平方差,再根据定义判断;
(3)设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1,通过计算,得(2k+1)2(2k﹣1)2=8k,再利用“新定义”进行判断.
【解答】
(1)28=2×14=82﹣62;
2012=2×1006=5042﹣5022,
所以28和2012是神秘数;
(2)(2k+2)2﹣(2k)2
=(2k+2﹣2k)(2k+2+2k)
=4(2k+1),
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数.
(3)设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1,
则(2k+1)2﹣(2k﹣1)2=8k,由(2)可知:神秘数是4的奇数倍,不是偶数倍,
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数.
【反思】注意因式分解在本题中的应用.
【拓展2】对任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“差异数”,将一个“差异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以F(123)=6.
(1)计算F(243);
(3)若s,t都是“差异数”,其中s=100x+32,t=150+y(1≤x≤9,1≤y≤9,x,y都是正整数),规定:k=F(s)/ F(t),当F(s)+F(t)=18时,直接写出k的最大值.
(3)(2)∵s,t都是“相异数”,
∴s=100x+32,t=150+y,
∴F(s)=(302+10x+230+x
+100x+23)÷111=x+5,
F(t)=(510+y+100y+51
+105+10y)÷111=y+6.
∵F(t)+F(s)=18,
∴x+5+y+6=x+y+11=18,
∴x+y=7.
∵1≤x≤9,1≤y≤9,且x,y都是正整数,
∴x=1,y=6或x=2,y=5或x=3,y=4或x=4,y=3或x=5,y=2或x=6,y=1.
∵s,t是差异数,∴x≠3,x≠2,y≠1,y≠5,
∴x=1,y=6或x=4,y=3或x=5,y=2
∴F(s)/ F(t)=1/2或1或5/4.
∴K的最大值为5/4.
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