人教版数学八年级上册轴对称《等腰三角形》解题指导

巧用轴对称 构等腰三角形解题

在几何解题中,若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线,可根据图形的轴对称性,巧妙构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径,直观易懂,简捷明快.这样不仅能使问题化难为易,迎刃而解,而且有助于同学们创新思维的培养.现略举几例析解如下,供同学们参考:

一、图形含有垂线（或高线）, 以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形

例1.如图,已知AD⊥BC于点D,且∠B=2∠C,试说明AB+BD=DC.

连AE,则△ABE为等腰三角形,根据等腰三角形的性质使问题迎刃而解.

解:因为AD⊥BC,以AD为对称轴进行变换,点E为点B的对称点.

连AE,则△ABE为等腰三角形,所以∠AEB=∠B=2∠C,且DB=DE.

因为∠AEB=∠C+∠CAE,而∠AEB=2∠C,所以∠C=∠CAE,从而AE=CE.因此

AB=AE=EC

所以AB+BD=EC+DE=DC.

二、图形含有角平分线, 以角平分线为对称轴构等腰三角形

例2.如图,等腰Rt△ABC中,∠A=90⁰,∠B的平分线交AC于D,过C作BD的垂线交BD的延长线于E,试说明:BD=2CE.

分析:因为BE是∠ABC的平分线,且BE⊥CE,以BE为对称轴进行变换,点C的对称点必是BA和CE的延长线的交点F,则△BCF为等腰三角形,根据等腰三角形的性质可使问题巧妙获解.

解:因为BE是∠ABC的平分线,且BE⊥CE,以BE为对称轴进行变换,点C的对称点则为BA和CE的延长线的交点F,则△BCF为等腰三角形.

所以CE=EF，即CF=2CE，

在△ABD和△ACF中,因为∠BAD=∠CAF=Rt∠, AB=AC, ∠ABD=90⁰-∠F=∠ACF

所以△ABD≌△ACF(ASA),

所以BD=CF=2CE(全等三角形的对应边相等)