初中数学培优 八年级上 第四讲 轴对称和轴对称图形 角格点问题

中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况,即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学,因此难度下降很大,属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降,因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。

我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生,她在初中排在年级前20名(年级总共500多学生),但是进入高中后感觉非常吃力,跟不上进度。和她交流后我一句话概括,现在的初中数学要求太低,难度太低。

本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题,难度高于中考的平均程度,差不多是重点高中的自招难度。

系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。

系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。

第四讲 轴对称和轴对称图形

一、知识框图

二、重点难点分析

1.轴对称和轴对称图形的定义:把一个图形沿一条直线折叠,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线轴对称。如果将一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。前者表示两个图形的关系,后者表示一个图形的特征。

2.轴对称的性质:关于某条直线对称的两个图形是全等形;对称轴是对应点连线的中垂线;对应线段所在直线的交点在对称轴上。

3.作一个图形关于一条直线的轴对称图形分两步:第一步作出原图形中某些点关于这条直线的对称点;第二步顺次连结对称点。

4.线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

5.线段垂直平分线的性质和作图都是解决几何证明或计算的重要方法,根据其性质还可以得到三角形三条边的中垂线交于一点。

6.利用轴对称变换,可以解决几何中的最近距离问题,解决这类问题主要是根据转化思想将直线同一侧的点利用轴对称变换转化到直线两侧,然后根据两点之间线段最短这一原理解决问题。

三、例题精选

例1 下面的几个图形中,哪些是轴对称图形()

解答:关于轴对称和中心对称图形的判断是中考必考题,也是送分题。

复杂一点的轴对称图形,关键就是找对称轴

答案:①③④

例2 如图,在2×2的正方形格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形,这样的三角形共有______个,请在下面所给的格纸中一一画出.(所给的六个格纸未必全用).

解答:如例1所述,关键找对称轴。这个题目就转化为正方形有几条对称轴的问题,把所有的对称轴都找出来,这个题目就迎刃而解。

常见图形的对称轴:

正方形:四个对称轴,横竖两条中垂线以及两条对角线;

长方形:两条对称轴,横竖两条中垂线;

圆:无数条对称轴,经过圆心的直线都是对称轴。

等腰梯形:一条,即上下底的中垂线。

等腰三角形:一条,即底边的中垂线。

等边三角形:3条,各条边的中垂线。

角:一条:角平分线;

线段:两条,中垂线以及通过线段直线;

正n边形:n条,每条边的中垂线和通过中心的对角线(n为偶数时,每组对边中垂线重合,算一条,共n/2,经过中心的对角线也是n/2;n为奇数时,每条边一条中垂线,无经过中心的对角线,共n条)。

有了这些知识,答案就出来了。

根据每条对称轴,依次画出三角形三个顶点关于对称轴的对称点,然后连线即可。

易错点:

这个三角形仅仅占据了2个小格子,即一个长方形的位置,所以关于这个长方形的对称轴容易漏掉。

例3、如图,O为△ABC内部一点,OB=3.5,P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点.

(1)请指出当∠ABC在什么角度时,会使得PR的长度等于7?并完整说明PR的长度为何在此时会等于7的理由.

(2)承(1)小题,请判断当∠ABC不是你指出的角度时,PR的长度是小于7还是会大于7?并完整说明你判断的理由.

解答:先作出图,然后通过图进一步分析。

(1)作出图后,发现PR=7,仅当P、B、R三点共线时取等号;

而∠PBR=2∠ABC=180°,∴∠ABC=90°;

(2)由(1)的分析可知∠ABC为其他角度时,PR都小于7.

例4. 如图所示,在△ABC中,DE、MN是边AB、AC的垂直平分线,其垂足分别为D、M,分别交BC于E、N,且DE和MN交于点F.

(1)若∠B=20°求∠BAE的度数,

(2)若∠EAN=40°,求∠F的度数,

(3)若AB=8,AC=9,求△AEN周长的范围

解答:(1)E在AB中垂线上,∠BAE=20°;

(2)设∠B=x,∠C=y;则∠BAE=∠B=x;∠CAN=∠C=y;

在△ABC中,2x+2y+40°=180°。∴x+y=70°。即∠BAC=70°+40°=110°;

在四边形ADFM中,∠F=360°-∠BAC-∠ADF-∠AMF=360°-110°-90°-90°=70°。

尽可能用代数方法求解,简洁清楚。

(3)总体思路:尽量往三角形三边关系靠

根据对称可知:△AEN周长=BC长,∴1.

例5、如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E为CD的中点,点P、Q为BC上两个动点,且PQ=2,当CQ=______时,四边形APQE的周长最小.

解答:E是定点,那么AE就是固定的,而PQ也是固定的,题目转化为AP+QE的最小值。

解法一、用代数方法,设BP=x,则CQ=6-x,通过勾股定理列出函数,可惜初中的知识无法解答,最后函数的最小值还是得化成几何图形解答。设f(x)=+=+,

即x轴上一点P到定点A(0,4)和B(6,-2)的距离和。连接AB,交x轴于(4,0),所以x=4,CQ=2.

解法二、用几何方法。两条线段距离最短,肯定要用到三点共线的思想,这个题目是四个点:APQE,其中两个动点PQ。

我们的思路都是一个动点,那能不能把两个动点转化成一个动点,就是关键。因为虽然PQ都是动点,但是它们是联动的,不是独立的,因此我们可以想办法转化。

我们用到平移,把AP平移,使得PQ重合。这样题目就变成2个定点M、E,一个动点P(Q)的问题。

问题得到进一步的转化。

现在只要作E关于BC的对称点F,使得M、P、F三点共线即可。

作出图形:

如图CN=6,DF=6,CF=2,MN=4,

由比例关系可以得CQ=2

四、练一练

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