在刚刚学习函数时，我们就经常遇到一类“剪不断、理还乱”的问题，就是f(x+1)与f(x)的定义域关系问题，现在回过头再来梳理一下这类问题：
例题一 (1)已知f(x)的定义域为[1,3]，则f(x+1)的定义域为________；
(2)已知f(x+1)的定义域为[1,3]，则f(x)的定义域为________；
(3)已知f(2x+1)的定义域为[1,3]，则f(x+1)的定义域为________．
分析 第一层 f(x)与f(x+1)的区别
对应法则是将定义域内每一个自变量的值对应到唯一的函数值．f(x)是一个对应法则（可以记为f），f(x+1)是另外一个对应法则（不可记为f）．对应法则f(x)将2对应到f(2)，而对应法则f(x+1)将2对应到f(3)．我们需要明确的是对应法则f(x+1)中的自变量仍然是x．
第二层 f(x)与f(x+1)的联系
都有f，f的限制会对它们都造成影响，比如对应法则f是对自变量开根号，它只能对大于等于0的自变量有定义，那么f后面括号中的式子就必须非负．即f的作用区域是保持一致的，即f后面括号内的代数式的限制一致．注意，f(x)的定义域就是f的作用区域．
解 (1)f(x)的定义域为[1,3]，即f的作用区域为[1,3]，从而x+1∈[1,3]，解得x∈[0,2]，这就是f(x+1)的定义域；
(2)f(x+1)的定义域为[1,3]意味着其中的自变量x∈[1,3]，所以x+1∈[2,4]，即f的作用区域为[2,4]，这就是f(x)的定义域；
(3)f(2x+1)中的自变量x∈[1,3]，那么2x+1∈[3,7]，即f的作用区域是[3,7]，所以x+1∈[3,7]，解得x∈[2,6]，即f(x+1)的定义域为[2,6]．
这个概念理解清楚后，对于f(x+1)为偶函数或奇函数这类问题的理解就清楚明了了．
例题二 已知定义在R上的函数f(x+1)为偶函数，下面等式一定成立的有_________．
①f(x)=f(?x)；
②f(x+1)=f(?x+1)；
③f(x+1)=f(?x?1)；
④f(x)=f(?x+2)；
⑤f(?x)=f(x?2)；
⑥f(?x)=f(x+2)．
正确答案是②④⑥．
分析与解 我们已经清楚地知道函数f(x+1)的自变量为x，而一个函数是偶函数的定义是当自变量取相反数时，函数值不变．即f(?x+1)=f(x+1).因为x的取值是任意的，所以?x+1,x+1的形式是不重要的，它们的关系是(?x+1)+(x+1)=2，即只要f后面括号中的两个数的和为2，它们的函数值就会保持不变．从而得到②④⑥正确．
事实上，等式f(2x+1)=f(?2x+1)，f(100+x)=f(?x?98)等等都表达的是同一个意思，即函数f(x+1)为偶函数，即f(x)的对称轴为x=1．抓住了本质，形式就不再具有迷惑性．
最后给出两道练习：
练习一 (1)已知f(x)的定义域为[2,4]，则f(2x)的定义域为________；
(2)已知f(2x)的定义域为[2,4]，则f(x)的定义域为________；
(3)已知f(x+1)的定义域为[2,4]，则f(2x?1)的定义域为________．
答案 (1)[1,2]；(2)[4,8]；(3)[2,3]．
练习二 已知定义在R上的函数f(x?2)为偶函数，下面的等式一定成立的有_________．
①f(x)=f(?x)；
②f(x?2)=f(?x+2)；
③f(?x?2)=f(x?2)；
④f(x)=f(?x+4)；
⑤f(?x)=f(x?4)；
⑥f(?2x)=f(2x?4)；
⑦f(2016x?2016)=f(?2016x+2012)．
答案 ③⑤⑥⑦．
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