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分离变量法一般用来解决含参的不等式或方程问题，如：
1．当x∈D时，函数fa(x)在区间D上有零点，求参数a的取值范围，例如：方程x2?ax+1=0在区间(12,3)上有根，求实数a的取值范围．
2．对任意实数x∈D，均有fa(x)?0，求参数a的取值范围，例如：已知a是实数，函数 f(x)=2ax2+2x?3在x∈[?1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．
下面通过例子来说明处理此类问题的不分离、全分离、半分离的解法．
例 方程x2?ax+1=0在区间(12,3)上有根，求实数a的取值范围．
——光子问答 阳光灼伤冷瞳 2016-09-02 00:51
解 【方式一：不分离解法（燕子）】
不分离，也就是将等式或不等式的右侧变为常数（往往取0).
对于本题，就不再对方程x2?ax+1=0进行处理，已经是不分离的状态．问题等价于：函数f(x)=x2?ax+1在区间(12,3)上有零点．
① 当Δ=0时，得a=±2，经验证a=2符合题意．
② 当Δ>0时．
若f(x)在(12,3)上有两个零点，则{12a23,Δ=a2?4>0,f(12)>0,f(3)>0.
若f(x)在(12,3)上只有一个零点，则f(12)?f(3)0
综上，实数a的取值范围是[2,103)．
【方式二：全分离解法（意琦行）】
全分离，也就是让两边分别只含参数或变量．
问题等价于：?x∈(12,3)，使得x2?ax+1=0成立．即?x∈(12,3),a=x2+1x=x+1x.
【方式三：半分离（张振）】
分离，也就是将一边化为含参直线，另一边化为不含参的函数，此时问题转化为直线与曲线的位置关系问题，因此往往对曲线的凹凸性有要求．（在高考范围内，只有基本初等函数和二次曲线的凹凸性可以直接使用）．
令h(x)=x2+1,x∈(12,3)，g(x)=ax．则题意为求直线g(x)与曲线h(x)有公共点时的a的范围．考虑临界情况．如图：当直线g(x)经过点A(12,54)时，解得a=52；
当直线g(x)经过点B(3,10)时，解得a=103；
当直线g(x)与曲线h(x)相切时，解得a=2．
所以a∈[2,103)．
注 在解题的过程中，可以根据实际情况，选取较为简便的处理方式．
练习
1．已知a是实数，函数 f(x)=2ax2+2x?3在x∈[?1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．
——光子问答 阿鹏 2016-09-07 13:13
2．设函数f(x)=ax2?2x+2，对满足 1x4 的一切x的值有f(x)>0，求实数a的取值范围．
——光子问答 阿鹏 2016-09-07 10:21
3．设函数f(x)=1x，g(x)=ax2+bx (a,b∈R,a≠0)，若 y=f(x) 的图象与 y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则下列判断正确的是( )
A．当a0时，x1+x20, y1+y2>0
B．当a0时，x1+x2>0, y1+y20
C．当a>0时，x1+x20, y1+y20
D．当a>0时，x1+x2>0, y1+y2>0
——光子问答 燕子 2016-09-05 11:06
答案
1．(?∞,12)；
2．(12,+∞)；
3．B．
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