杨顺武
(云南省会泽县茚旺高级中学，654200)
解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题，这是一类很典型、很重要的问题.
解圆锥曲线的中点弦问题的常见方法有以下几种.
方法1 联立消元法，即联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．
方法2 点差法，即设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量．我们称这种代点作差的方法为“点差法”．
方法3 导数法，即如果以圆、椭圆等图形的中心为中心,按比例缩小图形,则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切(如图1)．此时缩小的曲线方程形如(x-a)
题型1 以定点为中点的弦所在直线的方程
例1 过椭圆
解 设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2).
∵M(2,1)为AB的中点,
∴x1+x2=4，y1+y2=2.
又A、B两点在椭圆上,故
两式相减，得
于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，
∴
即
例2 已知双曲线方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
(2)过点B(1，1)，能否作直线l，使l与所给双曲线交于P、Q两点，且点B是弦PQ的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
解 对2x2-y2=2两边求导，得4x-2yy′=0.
(1)以A(2，1)为中点的弦的斜率k=
y-1=4(x-2).
(2)以B(1，1)为中点的弦的斜率k=
y-1=2(x-1)，
即 2x-y-1=0.
但与双曲线方程2x2-y2=2联立消去y得2x2-4x+3=0, Δ=-8<0,无实根.
因此，直线l与双曲线无交点，所以满足条件的直线l不存在.
评注 在(1)中求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点.
例3 已知直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A，B两点，那么线段AB的中点的坐标为______.
解 设A(x1,y1),B(x2,y2).由
题型2 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例4 已知椭圆
分析 此题涉及到弦AB的中点坐标，且弦的斜率等于MP的斜率，故采用“点差法”.
解 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)，则
⟹3(x1-x2)(x1+x2)
+4(y1-y2)(y1+y2)=0
⟹
⟹
⟹3x(x-1)+4y(y-1)=0.
∵点P在椭圆内部，直线l与椭圆恒有两个交点，
∴点M的轨迹方程为3x(x-1)+4y(y-1)=0.
题型3 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例5 已知椭圆
解 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y=4x+m的对称两点，P(x,y)为弦P1P2的中点，则3x21+4y21=12,3x22+4y22=12.两式相减，得
即3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.
∵x1+x2=2x,y1+y2=2y,
∴y=3x，这就是弦P1P2中点P轨迹方程．它与直线y=4x+m的交点必须在椭圆内，
联立
由交点(x,y)必须满足
解得
题型4 证明定值问题
例6 已知AB是椭圆
证明 设A(x1,y1),B(x2,y2)且x1≠x2,
则
①
②
①-②，得
∴
∴
又
∴
∴
题型5 求参数的取值范围
例7 如图2,在直角∆DEF中,
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点K满足
不平行于EF的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N， 且
分析 对于第(2)问，∵
解
设M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0),直线l的斜率为k(k≠0),则
①
②
由①-②， 得
3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0⟹3x0+4y0k=0.
又∵
∴
解得
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