本帖最后由 nicky2013 于 2014-2-8 23:32 编辑 1.共享全等难题中的基本图形(相当于全等模型的简单应用),需要可以参考"全等模型基本结论"(比较粗糙,后面会不断修改,希望大家多提意见)。
2.弄懂记清这些典型问题后,会发现武汉大部分(经验判断有80%以上)八年级期中期末几何压轴题(和许多九年级几何综合题)都有它们的影子,用这些基本图形和它们所蕴含的思想很容易解决。
3.后面有空会举例分析。 4.这里先给一个13-14学年八年级上武汉各区期末几何压轴题摘选材料,可以先做,后面抽空再作简单分析。
举例分析第1题:(12-13学年青山区八上期中:24题)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.
【分析】这里只分析第二问, 根据题目描述“将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD”,马上我们可以判断出来△BCD是等边三角形,而题目又告诉 “∠ABE=60°”,要判断△ABE的形状。结合图形和条件“∠ABE=60°” ,我们要猜出△ABE为等边三角形。 如果猜测正确,我们按照“共顶点模型”(参见全等模型的基本结论)可以得到 △BDA≌△BCE。反过来思考,我们可以通过证明△BDA≌ △BCE,来证明△ABE的形状吗?可以,证明这组全等的初步分析:BC=BD(△BCD是等边三角形 ),∠ABD=∠EBC( △BCD是等边三角形+ ∠ABE=60°),还差一个角或者一边,题目条件“∠BCE=150°”不是还没有用吗?这样需证明∠BDA=150°,事实上,结合第一问,这不难得到。这样我就通过共顶点模型的基本图形找出了题目的证明思路。第2题:(12-13学年洪山区八上期中:23题第二问) 如图,△ABC为等边三角形,D为BC上任一点,∠ADE=60°,边DE与∠ACB的外角平分线相交于点E.(注:略有改动)(1)求证:AD=DE;
(2)若点D在CB的延长线上,(1)的结论是否仍然成立?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由.
图1 图2
【分析】这里图1和图2分别给出了用平行线构造全等三角形的证明方法。
我这里撇开这个“标准答案”进行分析。我的方法不一定简单多少,但是解题的思路可以用来做很多其他的题(如12-13学年洪山期中的最后一题,后面会作分析)。
a.第一问的结论如果成立,则连接AE知△ADE为等边三角形,明显 △ADE鼓出来一个像120°的角∠ DCE(其实就是120°)。我们重点分析下由点A,D,C和E构成的基本图形(参见典型问题中的模型前4题)。经过对条件简单分析,我们发现:∠ADE=∠DCA=∠ACE=60°,和典型问题中的模型中的第4题几乎一样(当然要把脑袋歪着看哦)。为了方便大家,截图对比如下(答案版):
(红线部分表示本题出现的基本图形补全图)
现在,我们就可以完全仿照右上图的辅助线来解决这个问题了。进一步提示一下,右边作完辅助线后可以按照"共顶点模型"快速确定一组全等三角形:△BDC≌△BEA。此题证明方法完全可类似得到。当然,辅助线中“连接AE”,其实是没必要的,我们这里只是为了让基本图形更加明显,所以连接了。
b.第二问。经过类似分析,可以知,此问完全类似于典型问题中的模型的第3题。大家可以自行分析和给出证明。对比图如下: 【类似题链接】(13-14学年武汉二中广雅中学八年级上期末模拟-25题)(注意:第三问P应该是BC延长线上一点。原题有小排版失误。)第3题:(12-13学年江岸区3校八年级上期中-22题)【此题作为前面2个题的练习。参考典型问题中的模型第2题,可轻松解决问题。题虽然不难,却是个很好的练习题哦。】
如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是角平分线,以AC为边向外作等边三角形ACE,BE分别与AD、AC交于点F、G,连结CF.
(1)求证:∠FBD=∠FCD;
(2)若AF=3,DF=1,求EF的值.
【进一步提示】: 易知:∠AEB=∠ABE=∠ACF==>∠CFE=60°,点A,F,C和E连接成基本图形。第4题:(13-14学年新洲区八年级上期末-25题) 【分析】我们这里只分享第二问思路。由第一问我们马上就有A(4,0),B(0,4),这样我们就知道三角形OAB是等腰直角三角形(为了看起来舒服,不妨连接AB),结合第二问补充的条件“角OCB=45°”,我们马上可以联想到典型问题中的模型第6题。利用里面第6题方法,我们可以证明角OCA=45°,结合第二问“垂直”的条件,我们就知道三角形FAC为等腰直角三角形。本问和典型问题中的模型第6题的详细对应关系,我们展示如下(这里展示的是典型问题中的模型“非答案版”)。(第三问也可以用三垂模型思路解决,由于不是目前讨论重点,略去。)楼主相关精华推荐:三角形全等模型 http://jzb.com/bbs/thread-2601382-1-1.html 圆中的最值问题 http://jzb.com/bbs/thread-2601377-1-1.html 元调数学压轴练习 http://jzb.com/bbs/thread-2616998-1-1.html元调数学压轴练习题答案(1-13) http://jzb.com/bbs/thread-2616999-1-1.html元调数学压轴练习题答案(14-23) http://jzb.com/bbs/thread-2617001-1-1.html全等三角形之《典型问题中的模型》(初稿) ---------------------------------------------------分割线----------------------------------------------------
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