介绍
这个会议的主题是“数学的统一性”，这恰如其分地表达了 Gel'fand 先生的观点，而且在先生涉猎广泛的诸多原创工作中有充分的体现。我赞同这一观点，并且乐于描述一个代表数学和物理学的统一性的最迷人的例子。演讲者也被鼓励要敢于大胆推测、勇于展望未来——这同样也是先生的性格。于我而言，这恐怕是一个不必要的、甚至是危险的指令，因为我的朋友认为我过分倾向于作疯狂的推测，非常轻率的热情必须冷却而不是被鼓动。即使如此，我还是想斗胆地对未来作些展望，正确与否且留与后人评说。
长久以来，数学和物理学相互影响，成果颇丰。事实上，只是到了最近，随着知识专业化趋势的增强，这两个领域之间才划分出一些明显的界限。1950年左右我在剑桥做学生的时候，要学习包括物理学和机械学在内的“自然哲学”，作为数学荣誉学位考试（注：数学荣誉学位考试(mathematical tripos)是剑桥大学独有的传统的数学考试，也是世界上最难的数学考试。有兴趣了解的读者请参见维基百科。）的一部分。回溯得更远一些，Newton 应归于数学家还是物理学家一直是双方争论不休的焦点。
物理学在19世纪末20世纪初的最伟大的理论突破——电磁学，广义相对论和量子力学都是高深的数学，而且，不可能用非数学的形式来描述现代物理学。Michael Faraday 是最后一个不擅长数学的伟大物理学家。数学如此广泛地渗透物理，以至于 Eugene Wigner 称之为“数学在物理学中的不可思议的有效性”，这后来成为一个经常被引用的习语。
对哲学家和科学家来说，物理学的数学描述是否反映了“现实”或者只是人类心智的被迫接受，是一个历史久远而且吸引人的问题。我个人确信，来自于神经生理学的关于大脑如何运作的洞察，将会给这个古老的问题投来一线光明，甚至会改变现在对这个问题的提法。
粗略地回顾历史，从稍微近代的诸多事件中可以看出，数学和物理学之间的相互作用有一些明显的摆动。在二次世界大战之后，加速器产生了众多的新粒子，在这段时期，理论物理学家致力于解决量子场论中出现的令人苦恼的无穷大的问题，然而大多数数学家对此不感兴趣。确实，也总有一些数学家试图拼命地建立基础，远离前沿，而且物理学家也在掌握 Feynman 图与逐渐给场景带来秩序的 Lie 群对称的技巧方面显示了高超的艺术鉴赏力。但是所有这些让数学界受益很少，除非把像 Freeman Dyson （注：Freeman Dyson，数学家、理论物理学家、作家。他1947年从数学转向物理，1948年在量子场论的重整化方面作出了杰出贡献。在1970年代，他在美国数学会曾作过一个题为“错失的机会”的Gibbs演讲，呼吁数学家要与物理学家沟通。作为一个作家，他的很多书被译成中文，例如《宇宙波澜》、《全方位的无限》等。）这样的皈依者算进来，因此对数学研究影响甚微。
20世纪70年代中期规范理论出现以后，情况突然发生了改变。规范理论以微分几何为背景，是基本粒子的量子场论最受欢迎的框架。
从此数学家和物理学家不仅有了一门公共的语言，而且很快发现，这两方面的一些最微妙的问题是紧密联系的。规范理论把量子场论的“反常”（anomalies）与椭圆型偏微分算子的指标理论联系起来。
突然一座新的桥梁架起来了，或者用另一比喻，从两个不同的源头引出的地下泉突然相遇了，犹如鬼斧神工。这一次，数学家不是在建立基础，他们冲锋陷阵在最前线。
我对那段山雨欲来的日子记忆犹新，特别是1975年我和物理学家们在 MIT 参加的一个会议，包括 Roman Jackiw 和年轻的 Edward Witten（他在那时就给我留下了深刻的印象）。我还记得 Jackiw 问起，数学和物理学的这一轮新的相互交融只是一段风流韵事还是百年好合！
好了，现在我们庆祝着这个牢固建立起来的银婚纪念。过去的25年我们看到了一朵朵美丽的奇葩盛开，对两个学科都产生了极大的影响。年轻一代的理论物理学家很快地掌握了20世纪的许多数学知识，涉及代数几何、微分几何和拓扑学的各个领域。他们中有许多能够像拓扑学专业最聪明的研究生那样精巧地操作谱序列，而且物理学家经常向我们数学家提出几何和拓扑中那些将我们的知识延伸到极限的最透彻和最深奥的问题。
在今天这样的场合，采取一般的观点看起来更合适，所以我将尝试迅速地概览一下（广义下的）新物理学对几何的影响。这常常以对几何中的一些意外的结果或公式的一种具有相当的精度和细节的预言的形式出现。这些预言很少是在有任何形式证明的基础上提出来的，虽然有时可以通过努力从物理学中析取出来。通常留给数学家的只是采用间接的、概念更少的方法去验证这些令人不可思议的结果和公式。
令人惊奇的不仅仅是这些结果的普遍性，还有就是这个预言结果的程序竟然如此地成功。虽然缺乏任何坚实的基础，物理直觉和技巧的精妙运用至今还没有引出任何错误的结论。这不得不诱导我尝试着去颠倒 Wigner 的格言而惊叹于“物理在数学中不可思议的有效性”。（注：E. P. Wigner，1965年诺贝尔物理学奖得主。他在1959年曾做过一个题为“数学在自然科学中不可思议的有效性”的演讲，颇具影响，中译文可见《数学译林》2005年第1期。他的传记《乱世学人》有中译本。）
背景
先回顾几何学和物理学的一些背景知识，这将有助于我们理解二者之间的相互影响。
我们从几何开始。正如前面所提到的，纤维丛的微分几何，包括联络和曲率，都是基本的知识。它与物理的联系本质上可以追溯到 Hermann Weyl 从几何上解释 Maxwell 方程的努力以及后来 Kaluza 的改进。这正是交换的-丛的情形，非交换情形需要一般的李群 ，而且更加成熟，它的丰富的数学进展很晚才出现。（注：Atiyah这里所指的非交换情形是1954年由杨振宁与 Mills 提出的Yang-Mills理论，又称为规范场论，其数学进展直到1975年杨振宁与吴大峻给出了规范场的整体表述以后才迅猛发展。规范场的思想最初由Hermann Weyl提出，但是他只考虑了交换李群的情况（电磁场），而未能够发展出非交换的对应理论。Yang-Mills 理论 Hermann Weyl 梦寐以求的一个几何—物理理论。对此，我们特别推荐 Hermann Weyl 的文章《几何学与物理学》，中译文见于《诗魂数学家的沉思》（袁向东编译，南京，江苏教育出版社，2007）。可以说，Atiyah的这个演讲主题是 Weyl 的几何—物理思想在21世纪的一个延续与开拓。）
另一个重要的成分是 Hodge 关于调和形式的理论的先驱工作，特别是 K\"{a}hler 流形的理论在代数几何中的美妙应用。
Witten 指出，Hodge 理论应当看成超对称量子力学，这就在两边的核心概念之间建立了一座重要的桥梁。而且，当推广到量子场论时，数学家发现物理学家总是努力使 Hodge 理论在无穷维具有意义。他们在这个尝试中的成功依赖于一些可以追溯到 Dirac 的微妙的物理想法，这是数学家应该吸收的。
二战结束后，在接下来的十年里，拓扑在几何学中占有中心的位置，新的概念和技巧导致了对微分几何和代数几何中的一些整体性拓扑问题的一个很好的理解，这在 Hirzebruch 对 Riemann-Roch 定理的著名推广中达到顶点。这需要富有技巧地使用以示性类理论为中心的代数工具，还有 J. A. Todd 发现的引人注目的多项式。
所有这些都主要受到经典代数几何中的一些问题的刺激，现在用 Leary，Cartan 和 Serre 的层的上同调这类强有力的工具讨论。可以肯定地说，这一数学进展最初与物理学毫无关联。
事实上，关于新的几何—物理相互影响的最显著的事实在于拓扑是其核心纽带。其根源可以追溯到 Dirac。他对电荷量子化——所有粒子的电荷是电子的电荷的整数倍——的解释本质上是拓扑的。采用现代的术语，他论证了，在一个磁单极的场中运动的带电粒子具有一个量子力学波函数，这个波函数是一个复线丛的截面（定义在磁单极以外）。因此，虽然经典力学可以纯粹局部地用微分几何的公式表达，但是量子力学要求一个整体的拓扑观点，而且整数值的拓扑不变量对应着量子化的电荷。
弦论出现以后，量子理论和拓扑的这个联系才浮现出来，弦论具有四维时空之外的额外维数的 Kaluza-Klein 拟设。额外维数的几何和拓扑提供了物理学与现代几何的主流发展的一个有力联系。
很久以前，人们已经熟知了李群和对称在物理学中的作用，现在又在几何和拓扑中有了一些应用。但是，作为弦论中介的高维 Kaluza-Klein 空间，涉及到那些不一定是李群的齐性空间的流形。这意味着仅仅依靠代数是不够的，现代几何的全部工具，包括 Hodge 理论和层的上同调，都是需要的。
正如第一节所简要提到的，几何与物理的一个重要联系来自于“反常”及其与指标问题的关联。这是 Hirzebruch 关于 Riemann-Roch 定理和 Todd 多项式的工作的自然推广，而且现在看来，它们的变形在物理上非常重要。事实上，Hirzebruch 的工作被 Grothendieck 引进 -理论 而推广了，从拓扑的角度看，这是物理学中研究反常的一个精制的工具。关于“反常”有一些纯粹是整体的积分公式，而且不存在相应的局部积分公式，-理论可以探测出那些扭曲不变量。这些线索以及其他一些线索暗示我们，-理论在量子物理学中起着基本的作用，但是其更深层次的意义目前还不清楚。
最后，我想对旋量的作用说几句。自从 Dirac 把旋量引入物理，它就起着基本的作用，提供了这个理论的费米子。在数学上，旋量可以从代数上很好地理解（追溯到 Hamilton 和 Clifford），而且它在正交群的表示论中的作用提供了它与物理学的联系。但是，在整体几何中，我们对旋量的理解还很少。Dirac 算子可以定义在旋量场上，而且它的平方类似于 Hodge-Laplace 算子。Dirac 算子的指标由前面提到的、与反常相联系的拓扑公式给出。虽然微分形式的几何意义（作为积分元）是清晰的，但是旋量场的几何意义仍然很神秘。它能够从几何上理解的唯一情形是对复 K\"{a}hler 流形，
此时全纯函数本质上提取了所需要的“几何上的平方根”。Gauss 以说过 的形而上学的真正意义并非那么简单而为人称誉。我们可以对旋量说同样的话，它也是一种神奇的平方根。这或许仍然是几何—物理边缘最深奥的奇迹。
维数的等级
虽然弦论在基本的水平上可能需要更高的维数，但是在正常的能量范围内我们还是在四维时空操作，而额外的 Kaluza-Klein 维数仅仅决定我们所要处理的场和粒子的类型。
由于四维理论出现了许多困难的问题，稍简单些的低维“玩具模型”（toy models）的研究将是有用的。我们可以想象，存在着一个维数等级，当维数增加时理论变得越来越复杂。一般的，我们写时空的维数为 ，其中 为空间的维数。
对 ，我们正好有量子力学以及与之相联系的数学，有限维流形、李群等。对 ，我们得到了第一个层次上的量子场论，包括闭路空间和闭路群之类的东西。这里许多东西都可以用严格的数学方法处理，这是一个广泛而成熟的领域。对 ，量子场论变得更加精确，而且很大程度上还是一个有待解决的问题。这甚至比现实世界的 的情形还要精确。
当 增加时，复杂度的增加反映在（或许归因于）Riemann 曲率的复杂度的增加。 时没有曲率， 时仅有标量曲率 时有 Ricci 曲率， 时有了完整的 Riemann 曲率张量。从 Einstein 方程来看，对经典相对论来说，这与维数 时几何结构的困难性的增加有关。在 的情形我们有 Riemann 曲面（或常曲率曲面）的经典理论。当 时，三维流形的理论已然深刻得多了，并且被 Thurston（以及最近的 Perelman）的工作弄清楚了。 的情形很不相同，正如 Donaldson 利用来自于物理学的一些想法（我们将在后边谈论）所揭示的那样。
在接下来的几个小节中，我们将按照维数从小到大的顺序，评述一下物理学对数学产生影响的一些方式。但是，在开始之前，我先做一个通用的一般评注。通常的，在这些应用中，会出现一些依赖于象度数那样的整数型参变量的公式。从物理学的观点来看，自然出现的对象是那些诸如对所有参量值求和得到的一个生成函数之类的东西。这并不是几何学家寻求答案的传统方式，而且从物理学引发的一个值得注意的洞察是，那些生成函数是非常自然的对象，有时候它们是某个微分方程的解。
二维时空
4.1 刚性定理
紧致流形 上的椭圆型微分算子的解空间 是有限维的。如果紧致群 作用在这个流形上，且保持此算子，则 成为 的一个表示空间。在非常特殊的情形，我们有所谓的刚性定理，也就是说 在 上的表示是平凡的。例如， 是 阶调和形式的空间，而且若 连通，则由 Hodge 理论， 在 上的作用是平凡的。另一个不同的例子是，若我们取 Dirac 算子 和旋量流形 （其维数为 ），则 和它的伴随 具有解空间 和 ，而 的指标则定义为
的指标.
若 在 上的作用保持度量，则它与 可交换，因此 和 成为 的表示空间，而且指标实质上成为一个真正的表示或特征标。这个刚性定理（归功于 Atiyah 和 Hirzebruch）断言，这个特征标是平凡的，也就是说，等于一个常数。（事实上，更确切地有：对非平凡的作用它等于零。）
通过量子场论（从时空到 的映射）的一些讨论，人们发现了对联系于某些丛的 Dirac 算子的一整串刚性定理。而且，生成函数最终可以表达为模形式，这是量子场论的相对性不变性所预言的一个结果。
这个发现刺激了拓扑学的一个全新分支，称为“椭圆上同调”，正如 Michael Hopkins [6]所解释的，它与数论有着迷人的联系。
这个课题是物理对微分拓扑的一个应用，这一节的其他内容将与代数几何紧密相关。
4.2 丛的模空间
代数曲线的 Jacobian 对它上边的所有阶为零的全纯线丛给出了分类。它可描述为平坦 -丛的模空间。对 函数的研究是19世纪数学的一个主要特征。它有一个到高秩向量丛的自然推广，这个研究始于20世纪中期，而且更加棘手。特别地，关于这些模空间的拓扑我们还知之甚少。
二维的量子场论再一次导致了联系于这些模空间的上同调的漂亮公式。受物理学的启发，现在有了这些结果的严格的数学证明。
4.3 曲线的模空间
与4.2节提到的模空间类似但比之更为深刻的是亏格为 的曲线的模空间。模函数的经典理论处理的是 的情形，但是对高亏格的情形，椭圆空间还不知道。
正如4.2节所述，物理学家对模空间的上同调得到了一些引人注目的公式。这一次与之相关的物理是引力理论而不是规范理论，而且对弦论非常重要。
4.4 量子上同调
经典几何导致了许多计数问题，最简单的一个例子是，数出一个给定代数簇的一些子簇的公共点的个数。这导致了相交理论的产生，Lefschetz 又将这一理论发展成为同调论的一个方面。随后它又被看成上同调理论的环结构。
当我们要去数曲线而不是点时，一类更深刻的计数问题出现了。在一个给定的代数簇上，满足给定要求（阶数，亏格，奇异结构）的曲线有多少？即使对于平面的情形，这也是一个没有解决的难题。
在量子场论中，同调曲线作为二维量子场论中的“瞬子”（instantons）出现，它可以度量这个理论的重要的非扰动特性。
把亏格为零的瞬子考虑在内，特别地导致了联系于流形的切丛的一个环，它依赖于参量 而且在取经典极限 时得到一个上同调环。这个新的环被称为量子上同调环，它编译了关于有理曲线的数目的信息。
对某些簇已经计算出其量子上同调环，因此得到了显式的计数公式。要提到的一个要点是，量子上同调环仅仅分级为奇、偶两部分，而不像经典的上同调环那样具有整数型的分级结构。
4.5 镜像对称
这个课题，现在已经发展成为一个大规模的专题，它与4.4节的内容相关，而且是解决计数问题的一种方法。
物理学家发现，某些代数簇 和 成对出现，称之为镜像对。最有意思的情形是当 和 为第一陈类为零的三维复代数簇（Calabi-Yau流形）的情形。关于镜像对称最值得注意的是， 和 具有非常不同的拓扑。事实上， 的奇（偶）数阶 Betti 数等于 的偶（奇）数阶 Betti 数，因而
，
这里 是 Euler 示性数。
对物理学家来说， 和 导出的二维量子场论是等价的，但是对需要计算 上瞬子的量子不变量可以通过由 上积分的周期给出的经典不变量来计算。这就是该理论能够得出有效的计算公式以及力量强大的原因所在。
镜像对称的数学研究现在进展得非常远，涵盖了复几何与辛几何。最近的工作是用导出范畴的语言叙述的，令人惊奇的是，如此高度抽象的数学技巧最终竟然与物理学中的弦论相关。
三维时空
毫无疑问，三维的量子场论最惊人的应用是 Witten 对由 Vaughan Jones 发现的多项式纽结不变量的解释。从 Jones 的工作已经看到，他的不变量本质上是新的而且非常有效。老的猜想很快被解决了。Witten 的工作展示了如何通过由 Chern-Simons 拉格朗日量定义的量子场论来理解 Jones 不变量。这样做的一个直接好处是，这将对所有的定向三维流形有效，而不仅仅是 。特别的，考虑平凡的纽结将得到紧致三维流形的数值不变量。
这些发展刺激了几何学家的大量工作。特别的，产生了一些完全严格而且模仿了许多物理的组合处理。
在三维，我们处在一个奇怪的境地，此时有两种完全不同的理论。一方面我们有已经讨论过的量子不变量，另一方面还有 Thurston 关于几何结构的艰深工作，其中三维双曲流形作为最重要的特殊情形。这两个理论之间联系极少甚至没有，这是一个长期存在的尴尬局面。例如，给定一个显式的紧致三维双曲流形，如何计算它的量子不变量？对一些简单的结构（正曲率或纤维丛）已经得到答案，但是对双曲情形还没有。
近来提出的一些猜想提供了一个普遍的联系，即，把双曲体积看作是 Jones 不变量的极限。特别的，Gukov[5]试图利用紧密联系于三维引力理论的非紧致群 的 Chern-Simons 理论建立这个联系的基础。这是 Witten 和其他人早期工作的继续。这看起来非常有前途，有望与 Perelman [9]最近的工作联系起来。
看看当前的研究并瞭望未来，我或许可以作一些进一步的评论。
首先，虽然量子场论对 Jones 理论的大部分性质给出了相当令人满意的解释，但在一个非常重要的方面失败了。它没有解释为什么 Jones 多项式的系数是\emph{整数}。在 Witten 的描述中，Jones 多项式在某些单位根处的值是期望值，而物理学并没有表明它们有任何算术性质的迹象。
一个完全基本的处理应该给出这样一个解释，同时又要保持量子场论观点的优美。
刚才，演讲之后有人告诉我，最近 Khovanov [7]的工作给出了 Jones 多项式系数的整性的一个直接解释。Khovanov 从一个纽结出发构造了某个作为不变量的同调群，而 Jones 系数作为 Euler 示性数出现。虽然这解释了它们的整性，但是并没有揭示出这些Khovanov 同调群与物理学的联系。
关于同调三维空间的 Casson 不变量的情况也类似。一方面，Witten 已经表明它可以由 Chern-Simons 理论的一个变形给出。另一方面，它也可以解释为 Floer 上同调群的 Euler 示性数，Floer 上同调群是 Donaldson 四维量子场论（下一节将会谈论）的 Hilbert 空间。这暗示我们，Khovanov 同调群或许可以简单地解释为某个四维量子场论的 Hilbert 空间。目前好像还不知道这样一个理论。
从另一个方向推测，我注意到 Jones 多项式可以自然地看成是单位圆群的一个特征标，而这些整数恰好对应着不可约表示的重数。你或许要问这个单位圆是从哪里来的。因为 Jones 研究的纽结是 中的经典纽结，在 处就有一个 ， 作用在上面。而且， 的等变 -理论由圆群 的特征环给出
。
这里 作为该作用的稳定子群出现（并且在共轭下唯一）。因为 -理论看起来在量子场论中起着特殊的作用，将 Jones 多项式解释为 的等变 -理论的一个例子是吸引人的，这里我们把 想像成任意一个包围这个纽结的大的二维球面。支持这个想法的一个事实是，关于链（纽结的推广）的 Jones 多项式包括 的整数级数，它对应着我们原来的 的双重覆叠的特征标。正如一个物理学家所可能做的，我们用 代替 是自然的。
这些等变 -群不仅出现在与 中纽结的联系中，而且出现在与 中的不同点的有限构形 [2]的联系中。这个想法在 [3]中所作的关于 Hecke 代数的进一步猜想中得到了强调，Hecke 代数为 Jones 提供了对纽结不变量的最初观点。
正如[2]中所解释的，那里需要的二维球面自然是复二维球面，它是 Minkowski 空间光锥的基础。这里所提出的与量子理论的联系与 Roger Penrose 的思想精神（我们将在第9节提到）一致。
四维时空
关于 Donaldson 理论，我之前已经提过好几次了，现在我将详细阐述这一理论。
对任意的紧致定向四维流形 ，紧致李群 和正整数 ，Donaldson 研究了 -瞬子的模空间 。-瞬子是 上 -主丛（具有由 指定的拓扑）的反自对偶联络。为此，首先需要选取一个 Riemann 度量（或者更确切的，一个共形结构），然后计算出 上的一些相交数，并证明它们与度量的选取无关。通过这种方式，Donaldson 定义了 的不变量，它们只是 的二阶同调类的多项式。
正如现在熟知的，已经证明 Donaldson 不变量对区分四维流形非常成功。Freedman 刚刚结束了四维拓扑流形的课题，Donaldson 不变量就揭开了四维光滑流形的课题。
虽然应用瞬子的想法来自物理学，但是 Donaldson 只利用了 Yang-Mills 理论的经典方程。然而 Witten 紧接着论证了 Donaldson 理论可以解释为一个恰当的四维量子场论。而且，这不过是 的超对称 Yang-Mills 的标准理论的一个变形。
对物理学家来说，Donaldson 理论的物理解释是有趣的，但是数学研究将从中受益多少尚未可知。然而，几年以后，处境一下子豁然开朗了。作为量子场论中关于对偶的一些非常一般的思想的一部分，Seiberg 和 Witten 创造了被期望等价于 Donaldson 理论的一个完全不同的理论。虽然这种等价性目前还没有一个严格证明，但是数学家对此坚信不疑。从技术上来说，Seiberg-Witten 方程更容易掌握，所以在很多情形更有用。特别的，它导致了 Ren\'{e} Thom 关于嵌入到 的曲面的亏格的古老猜想的一个证明。
应该强调，Donaldson 理论与 Seiberg-Witten 理论之间的等价是生成函数之间的等价。这两个理论理论都有它的瞬子，但是单个阶数的瞬子之间没有简单的关系，仅在取遍所有阶数的总和之间存在简单的关系。这可以与经典的 Possion 求和公式比较，它将一个格上的求和表达为其对偶格上的 Fourier 变换的求和。因此，量子场论的这种对偶应该看成 Fourier 变换的某种非线性类比。我将在演讲的末尾回到这个主题。
由经典方程导出的 Seiberg-Witten 理论的一个惊人特性是，它处理的是一个耦合了非线性的 旋量理论。因此旋量在这里明显出现，然而它并不出现在 Donaldson 理论中。这再一次加深了旋量的神秘性，也进一步说明了我们对旋量还缺乏深刻的理解。
目前还不清楚，如此多样而精致的 Donaldson 理论是否能够解释一切四维几何现象。也许能够，但是也许还需要一百年去理解四维的几何，正如从 Riemann 曲面到三维流形的一个同等程度的理解历经了一个世纪一样。如果是这样，这将伴随着真正理解时空的物理的一个类似时期，在最后一节我将回到时空的物理这个话题。
拓扑量子场论
正如我快速勾画出的，在很多重要领域中，量子场论都得到了拓扑结果。这实际上都是拓扑量子场论。这是特别简单的理论，在这里唯一的产品是拓扑的。这样一个理论的哈米尔顿量是零，所以没有连续的力学。虽然如此，这个理论与拓扑现象具有非平凡的联系。这使得这个领域更加简单，从而数学上更加容易处理。我在 [1]中给出了拓扑量子场论的一个公理化描述，类似于 Eilenberg 和 Steenrod 对同调论的经典公理化。这样一个理论的关键部分是利用一些原则上（正如同调论）是组合或分析的显式方法给出其构造。
对一个务实的物理学家来说，这种纯拓扑的理论看起来似乎没有什么重要的意义。但这是不对的，原因有二。首先，真正的物理量子场论可以有两个来源。其一，我们有小扰动的分析研究，但是这很大程度上基于标准例子和扰动理论。其二，存在非扰动现象而且它们可以用纯拓扑理论很好地加以解释。
其次，在研究非扰动效应的过程中，拓扑理论不仅可以作为模型，还可以从一个物理理论的极限过程产生。简单地解释一下，我们考虑 Hodge 理论，或者超对称量子力学。完整的理论要求我们知道 Hodge-Laplace 算子的所有特征值。但是在标度变换下我们可以考虑当所有特征值变得很大的极限情形，此时仅有零特征值保存下来。这就重新得到了其同调（作为调和形式）。
虽然我仅仅讲了量子场论，几何和物理的联系也延伸到弦论。特别地，Witten 已经表明对 的 Chern-Simons 理论，在其扰动形式下，就是对 的开弦的拓扑弦论，这里 是 的余切丛，以 -截面作为弦必须闭合的一个 重膜。
最近，Vafa 和其他一些人证明了这一理论与 上的一个秩为 的向量丛的闭弦的（拓扑）理论对偶。在这个对偶下，Chern-Simons 规范理论在高阶(large level)的扰动展开与闭弦理论对大 (large N)的扰动展开互换。这个对偶背后的几何可以在 -理论中用一个适当的具 -和乐群的七维流形最好地理解。
Vafa 的对偶可得出对每个亏格的显式公式，而且这些公式现在已经通过模空间上的不动点方法的数学计算[8]验证了。有趣的是，一切事情最后都归结为纯组合的公式。一方面弦论从扰动理论的 Feynman 图产生，另一方面我们有联系于退化代数曲线的组合数据Riemann 曲面和分析穿插在这两个不同的组合图解中，但是只有具备了充分的技巧才能够做直接的计算。虽然如此，这一点还不是很有启发性。
在这次会议中，Vafa 在他的演讲 [10]中非常详细地讨论了拓扑理论的许多方面。欲知其详，请参考他的文章。
对数学的重要性
从我的概述中可以清楚地看到，量子理论，在其现代形式下，对数学特别是几何学具有深远的意义。但是要把握这一切的真正重要性并预见其未来还很困难。
虽然物理可以给数学注入新的思想和技巧，但是它最终不能为数学提供基础。即使有一天我们可以发展起一个严格的量子场论或弦论，
数学或者其大部分将以之作为支柱也是令人难以理解的。
一个历史的观察或许有助于我们得以窥见这方面的将来。Fourier 分析在18世纪从物理学特别是热传导的研究产生。但是它被及时地吸收到纯数学理论中去，而且对线性分析接下来的发展是基本的。后来，到了20世纪，这个理论推广到以群表示为中心的非交换情形。事实上，你可以说，非交换 Fourier 分析是20世纪数学的一个中心理论。
正如我早先提到的，量子场论和弦论的对偶，作为物理对几何的一些最惊人的应用的根源，可以看成某种非线性的 Fourier 变换。在一些特殊的有限维情形，它们已经从数学上理解了，而且与积分几何的经典思想相关。这包括 Penrose 变换，Mukai 变换，Nahm 变换，以及孤立子理论中的逆散射变换。事实上，孤立子是所有这些对偶中最突出的例子。然而，弦论（或 QFT）的一切对偶都是无穷维而且是非线性的。
这一切暗示了，21世纪数学一个突出主题或许是函数空间的非线性 Fourier 变换理论的一个羽翼丰满的发展。当然，现存的非线性种类繁多以至于不可能以任何一种非平凡的方式囊括在某个单一的理论中。显然，物理学看来要挑选出一种非线性使得一个深刻而且易于处理的对偶成立。这种非线性的主要特性看来是超对称，它以某种方式推广了群论中的对称。用几何的术语来说，这意味着我们处理的不只是李群的齐性空间，还有具有特殊同调的 Riemann 流形，如 K\"{a}hler 流形，Calabi-Yau 流形或者是 -流形。李群仍然出现，不过仅仅在（可积的）无穷小的层面上。这些思想其实跟 Lie 原来的思想相去不远，他从有限维李群推进到（比如出现在复流形中的）无穷维结构。Lie 本人对他的基本思想没有得到他的同时代人应有的赞赏很失望。20世纪矫正了这个忽略，或许21世纪将使之更进一步。
对物理学的重要性
在前一节中，我试图瞭望未来以看出从当前的几何——物理相互影响中将会出现什么样的数学。试图预见物理学更加困难，而且我更不够资格，然而或许一个局外人能够提供一个不同的观点。
我们知道，当前基础物理学的圣杯是如何联合 Einstein 的广义相对论（GR）和量子力学（QM）。这两个理论非常有效，但是作用的尺度完全不同，GR 作用在宇宙的距离下而 QM 作用在亚原子的尺度下。
联合这两个理论的难点既是概念性的也是技术性的。众所周知，Einstein 有一个梦想，就是推广 GR 的统一几何理论，但是他从来没有接受 QM 的哲学基础和它的不确定性原理。在 Einstein 和 Bohr 的这个论战的长期争论中，物理学界的一般定论是，Einstein 输了，而且他的统一场论的想法是没有希望的白日梦。
包括电磁力、弱相互作用、强相互作用的基本粒子标准模型所取得的巨大成功，给 Einstein 的思想带来了新生。但是其框架仍然是 QM 的框架，而 GR 仍旧停留在统一的范围之外。现在，弦论提供了最终统一的希望，或许 Einstein 和 Bohr 之间的争论将获得解决，从而使荣誉能分配得更加均衡。统一是可能达到的，但是 QM 应该保留下来。
这是弦理论学家的正统观点，而且他们有给人印象颇深的证据支持。唯一美中不足的是，最终的 -理论是什么，没有一个人对此有任何真正的想法。或许这一点将会在接下来的几年里取得进展，而且我们将学会与 维的神奇世界及其隐含的超对称打交道。完成这个结构或许只留存在一些技术性的障碍。
但是至少值得去探索其它的想法。目前有两个特别吸引人的思想，都有其信徒。首先（按照历史顺序）是 Roger Penrose 的扭量（twistor）理论。一方面，作为一个技术性的数学工具，它的价值已经在许多问题中得到了证明。扭量也与超对称和对偶相关。但是更重要的另一方面是，在这些数学技巧的背后存在着一个更深刻的哲学思想。Penrose 是一个 Einstein 主义者，他认为，在 GR 和 QM 的联姻中，后者必须放弃得多一些以适应 GR 的优美。扭量被认为是达到这个目标的第一步。而且 Penrose 推测，复数在 QM 中的神奇作用最终应该在 Minkowski 空间中光锥的自然复结构中有一个几何源头。到目前为止，不得不承认，证据并不支持 Penrose ，但那并不意味着他最终不会被支持。
另一个完全不同的想法是由 Alain Connes 的非交换几何提供的，这是一个数学背景丰富并且大有前途的理论。它与物理的联系已经存在并且新的联系还在发现中。在某种意义下，Connes 的出发点是 Heisenberg 交换关系，一个完全不同于 Einstein 的方向。然而，为了保持几何的精神，他尽量采用了同样的概念和术语。-理论的最终形式将利用 Connes 的框架表述当然也是有可能的。
最后，或许我可以斗胆地作一些疯狂的猜测——我期望至少不是与前面的其他想法完全无关。
我将回过头去从提出一些哲学或形而上学的问题开始。假如我们最终得到了关于宇宙的一个协调一致的统一理论，需要极端复杂的数学，我们可以认为这代表了“现实”吗？我们相信自然定律在于应用目前出现在弦论中的精心制作的代数机器吗？又或者，自然定律实际上可能更加深刻、简单而微妙，只是在我们所具备的数学工具下，我们所采用的数学描述就是最简单的了？换言之，或许我们还没有找到揭示自然的终极简单性的恰当的语言或框架。
为了将我意思表达得更清楚，考虑描述引力的 GR。对数学家来说，这个理论是优美而朴素的，但是很微妙。而且，它是高度非线性的，因而在具体应用中就极其复杂。这就是它作为一个模型理论吸引 Einstein 和 Penrose 的原因所在。是不是有可能某些具有相同内在质朴性的东西能够解释自然的一切呢？
虽然每个人都可能会认为这只是一个理想的哲学抱负，因为存在着从 QM 提出的、看起来无法克服的障碍。为了实现这个抱负，将需要一些观念上的飞跃，而在过去，这种飞跃仅在一个人准备放弃大众已经接受的某些教条时才会出现，例如 Einstein 的狭义相对论就源于他放弃了时空分离的教条。
让我以一个猜测的心态来提出一个可能要放弃的教条。从 Newton 开始，物理科学中的一个最重要的原则就是，我们能够从现在（如果给出全部的知识）预见将来。这一点甚至在 QM 中也成立，那里零时刻的状态通过一个 Hamilton 流演化以给出将来时刻的状态。这个看起来有些大胆的假定已经充分地证实了它的价值。但是它果真成立吗？或许我们能够说的一切仅仅是，现在和过去的知识能够使我们预见将来？毕竟，这一点在某种意义下，在生物学中是对的，在那里我们的 DNA 代表了我们的过去。
当然，为解释这个经典教条的显著成功，过去的影响将必须是微小的而且仅在一个相当小的时间尺度内可以观察到。而这正是 QM 演出的舞台。所以，或许 QM 中的不确定性原理正是反映了我们（观察者）不知道我们的过去这一事实。或许现在这一时刻的 Hilbert 空间状态由我们的过去决定。
这个哲学思想将必须用与 GR 相协调的精确数学形式具体表达。特别的，基本方程将不是微分方程而是积微（integrodifferential）方程，包括对过去的积分。GR 的非线性加上过去历史的效应将使其数学处理变得非常困难。但是，利用那些出现在弦论中的高度精确的数学工具或许可以得到非常好的近似。多种多样的对偶或许会出现在各种不同的近似方案中。
沿着这些线路的一个理论或许会使 Einstein 满意，而且看起来值得我们去探索。所有数学物理学家的梦想是，找到一个最终诠释，它不仅在数学形式上简单朴素，而且能够揭示自然界迷人的多样性。我们应该坚持。
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