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2015年1月，在“俞正强特级教师工作室”团队活动中，我们对“植树问题”进行了研究与探讨。从传统的教学，到我们的理解演绎，最后经由师傅论道，使我们在这次活动中受益颇深。愿在此书写心得，与众人分享。
（此处略去“且读他人思路”“且看我们演绎”两部分）
且听师傅论道
一筹莫展之际，师傅俞正强拿起粉笔，展开了他的教学。
1. 出示问题①：20米路，每5米一段，一共分了几段？（在黑板上画了一条直线）
生:5段，20÷5=4，4+1=5。
师：有没有不同的做法？
生：4段，20÷5=4。
师：为什么要用除法来做？为什么不用20+5，不用20-5、20×5？
生：题目说每5米一段。
师：这是在干什么？
生：平均分。
师：（面向第一位学生）5段是怎么来的？
生：奥数老师教的。（这位学生在课外的奥数班学过“植树问题”，将这类问题统统模糊成了植树问题。教师再次问他5段是怎么来的，以此来帮助纠错）
2. 出示问题②：20米路，每5米种一棵树，一共种几棵？
教师采访一名学生：你不会做？
生：有点不会。
师：那就是有点会做，你说一说。
生：老师教过了，这是植树问题。20米分成4段，头尾都种树，要加上1棵。
生：20÷5=4，边上要种加上1。
生：4个间隔要种5棵。
板书：4个间隔20÷5=4 5棵树4+1=5
3. 引导比较，进行梳理。
师：这两道题像吗？ 像在哪里？ 哪里不像？
生：都是20米路。
生：都有一个一模一样的算式：20÷5=4。
师：为什么都要用除法做呢？
生：因为是平均分。
师：不一样的是什么？
生：问题①有一个算式，问题②有两个算式。
师：既然两题都是平均分成4段，为什么第②题要再加1？
生：因为头尾两端都要种。
师：如果头尾都要种，那不是要加2 吗？为什么只加1呢？
学生答不上来。
师：同学们，平均分是一段一段分的，但是种树的时候是种在哪里的？
生：种在段与段的点上。
师：“点”和“段”有什么不一样啊？种是种在“点”上的，咱们平均分是分出“段”来的。那么，一段有几个点啊？
生：两个。
师：两段有几个点啊？
生：三个。
师：三段呢？四段呢？请问，点和段之间有什么关系？点多还是段多？
生：点多。
师：怎么个多法？
生：一段线两个点，两段线三个点，三段线四个点……
师：那么，点比段多几？
生：点比段多1。
师：在平均分的除法里面，点比线多1，而植树是正好植在什么地方？
生：点上。
（听到这里，我们似乎有些明白了。师傅认为，这个问题应先让学生理解20÷5求的是段，再抓住点与段的区别，从而理解点与段的关系。）
4. 清晰对植树问题的认识
师：除了园林工人把树种在点上，还有什么人把什么放在点上？
生：工人把路灯放在点上。
教师结合学生的回答画了一幅草图，并解释这里把树变成了路灯。
生：红绿灯，插旗子，楼房上的窗户……
师：继续说。
说着说着，学生忽然悟出了道理。有个学生站起来说：老师，只要是平均分的，都是放在点上！
……
引导学生回头看问题①和问题②：
问题①是什么问题？（平均分）
问题②是什么问题？（植树问题）
植树问题用什么知识来解决？（平均分）
小结：植树问题是平均分的应用。
5. 在具体情境中领会平均分在植树问题中的应用
情境1：问题②中，园林工人领了5棵树，到那里一看，发现路的尽头有座房子。怎么办？
生：拆房子。（众生笑）
生：一头不种。
师：这个点不种了，那树怎么办？
生：-1。
情境2：一个小朋友领了5棵树，种好了还我２棵，这是为什么？
生：两头都有房子，不种！
小结：怎么植树要看具体情况。
追根溯源，用于非“常”
讨论时间，师傅先问了我们一个问题：植树问题的源是什么？正是对这个问题的讨论，以及师傅的解说，结合传统教学、我们的演绎、师傅的课堂，使我们对植树问题有了更深刻的认识。
1.“模型”是植树问题的源吗
在传统教学中，一般把“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”三种类型的区分及相应的计算方法看成是一种“模型”。为了达成知识目标，教师往往带领学生一一总结公式（甚至要求熟背），然后变化问题情境训练解题技能，让学生牢固掌握并直接运用。因而，绝大多数学生解决植树问题时，首先想到用除法：路的总长÷间距＝棵数；其次看题中是否有“两端种与不种”的明确提示语，以此决定是否加1或减1。然而，多数问题是隐藏提示语的，学生只能凭自我感觉决定是否加1或减1。如此就造成学生对三种计算方法的机械应用，在解题错误百出的同时也束缚了学生的思维。由此可见，“模型”并非解决“植树问题”的关键因素。
2. 什么才是植树问题的源
“植树问题”是研究“树的棵数”与“两树之间间隔数”之间数量关系的问题，其实质是研究点与段的问题。如何让学生建立“点段”关系呢？
我们的教学,是把“植树”这件事，根据“树”与“间隔”所呈现出来的内在规律，在简化后得到一个抽象结构——点与段的一一对应关系；用直观图理解“一一间隔排列”规律，学会用“一一对应”的方法来分析两个量之间的数量关系；研究具体的实际问题，得出灯笼与彩带是“一一间隔排列”的，并能运用规律分析它们之间的数量关系；再沟通不同情境间的内在联系，抽象出这类问题的共同本质特征“一一间隔排列”，并进一步巩固“一一对应”的分析方法；最后运用总结出的思想、方法解决简单的实际问题。
而师傅的教学，是直接从除法的意义入手，结合学生已有的知识基础和生活经验，从除法问题引申出植树问题。通过“20米，每5米分一段，共分几段”和“20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树”这两题的比较分析，一来帮助学生理解这两道题都是平均分，二来让学生明白两者的区别在于平均分是一段一段地分，而植树是种在段与段之间的点上。进而，让学生认识到“植树问题”只是除法意义在生活中的延伸，明白“植树问题”其实只是点和段的问题。接下来，结合“植树问题”的生活原型重点教学“两端都种”的情形，并且着重沟通数学与生活原型之间的联系，从而让学生在深刻建构“两端都种”的基础上，顺势带出另外两种“植树问题”模型，学以致用。
从某种角度说，从找规律入手，让学生体会规律的有用，很多课都可以达成。而对点和段的感悟，丰富了对平均分的认识，离开了这节课，其他课很难实现，具有唯一性。
3. 追根溯源，用于非“常”
也就是说，师傅认为：植树问题的源是“平均分”与对平均分的应用。
平均分有两种，一种是完全平均分，如8÷2；一种是不完全平均分，如9÷2。不完全平均分解决生活中的余数问题，完全平均分带来段和点的问题。行程问题、工程问题、总价问题等都是研究段的；而植树问题、锯木头问题都是研究平均分中点的问题。“植树问题”来自哪里？来自平均分，体现学以致用的价值。应该说，“植树问题”不是横空出世的，正如下图所示，是一点一点生长出来的。
“植树问题”的源，具体到上述两个问题，就是：
20米路，每5米一段，一共有几段？（学）
20米路，每5米种一棵树，种几棵？（用）
学与用不一样，学在“段”上，而用在“点”上，即求几段是在学习平均分，而用在“植树问题”中，则是对平均分这一知识的生活应用。用师傅的话说，这叫“学以致用”。第二次“学以致用”是在三次情境设置中，即研究点比段多1（学），延伸至一头种一头不种，以及两头都不种（用）。
正如师傅所说，学的是“常”，用的是非“常”。
对于书本中某一个知识点的教学，我们需要追根溯源，理清它的来龙去脉，找准知识的生长衔接处，引导学生学以致用，把所学之“常”，用于非“常”。如此，教学才更能彰显教的意义和学的价值。
（节选自《小学数学教师》2015年第7、8合刊《追根溯源 用于非“常”》一文）
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