迎来新博主 | 如何模拟这世界

作者介绍： 深圳国际量子研究院 科研助理

“宇宙是否是一台超计算机？”，这一问题发端于著名的邱奇-图灵论题，曾今引无数人想入非非。在 “万物源自量子比特” (It from qubit) 这一观念产生后，更吸引了无数物理工作者的注目。在一台计算机上模拟宇宙中物质与时空的行为，这个曾经听上去就具有创意的故事如今已经是物理科研工作者的日常工作了。遗憾的是，量子特有的性质，使得经典计算机模拟它的过程困难重重。对此，Feynman遗憾地说道[1]：“倒霉的是，大自然并非经典的。如果你想要模拟大自然，最好把模拟过程变成量子的。天呐！这真的是个好问题，因为它看起来并不那么容易！”

如果说量子物理学的诞生意味着人类认知反抗某个绝对主宰的开始，那么量子模拟技术的发展，则为人类创造基本物质的愿望带来了曙光。怎样创造人造光与人造费米子？这个问题依然是凝聚态物理学的一个重要问题[2]。但通用量子模拟技术的出现，似乎在一定程度上回答了这问题。事实上，近几年，在离子阱、金刚石色心以及核磁共振等体系上的量子模拟，已经为人类带来了离散时间晶体[3,4,5]和拓扑物态[6]之类的新奇物质了。已有的量子模拟实验，往往局限于对于系统哈密顿量的简单模拟，而并非对于真正物理上一个场量 

 的模拟。更进一步的，大多数此类实验都是基于量子类比模拟 (Quantum Analog Simulation)技术。众所周知，在经典计算时代，数字模拟 (Digital Simulation)最终由于可抗噪声、便于处理等优势，战胜了类比模拟 (Analog Simulation)，成为了现在我们使用的计算机的基础。类比模拟的后辈量子类比模拟同样遭遇了很大的问题：模拟强烈依赖于模拟系统的哈密顿量、可靠性差。因此，在量子计算的时代，人们依然青睐于数字模拟。今天我们的故事，就是如何利用量子计算机，模拟带有相互作用的场论模型。

用量子计算机模拟场论模型这一想法，最早可见于 John Preskill等人在2011年的文章[7]。在2018年的文章[8]中，Preskill这样解释考虑使用量子计算机场论模拟的动机：量子色动力学太难算了，即便是蒙特卡洛方法也算不了强子对撞。他悲观的认为，经典计算机恐怕永远都不能准确地模拟这类强关联体系。以我个人的蠡测，这恐怕多半是Preskill当年在Weinberg那里读PhD的时候留下的心理阴影。但是不得不说这个想法是很有意义的，因为半个多世纪的物理学，无论高能理论还是凝聚态理论，都是建立在量子场论上的。Preskill的方案，统而概之就是格点模型+哈密顿量模拟。今天我们扼要的介绍通过量子数字模拟的方法模拟最简单的实标量场 

 模型。

第一步是非常简单的，写出 

 模型：

并做Legendre变换，得到系统的Hamiltonian:

第二步我们要遵循格点场论的一般方法，对时空进行离散化，将连续的空间坐标   变为间隔为  的 

 个离散的点，即 

 相应地，系统的哈密顿量变为：

事实上，由于后续的数字模拟过程本身也是离散的，因此整体时空也是离散的。

第三步，重新将标量场 

，以及系统的哈密顿量表达为产生湮灭算符的形式：

注意此时系统的色散关系也从连续的爱因斯坦关系 

, 变为离散的格点色散关系 

 注意这种色散关系，也是我们在固体物理中研究声子的色散关系时就曾经遭遇过。

第四步，由于我们能研究的场的模式时有限的，因此模拟时我们需要对场的产生湮灭算符做截断，只模拟某个能级 

 以下场的行为：

此时我们就可以将标量场系统映射到 

 个qubit上了。如果我们截断到 

，按照对应关系显然有有：

同时我们需要对系统做一些初始化，譬如制备一个动量空间中的Gaussian波包作为初态，参见[9]。此时，产生湮灭算符被映射为：

据此我们可以将标量场自由部分的哈密顿量改写为：

到这里，一切自然又清楚，但是如何处理相互作用的哈密顿量，确实使人为难。目前来看有两种方案：Jordan-Lee-Preskill 基底和 Harmonic Oscillator 基底。事实上分别对应薛定谔绘景和相互作用绘景，对于实标量场 

 模型，经过对比，大家发现谐振子基底更适用于模拟 (事实上从量子力学的直觉来看也是)。2019年，Natalie Klco[10] 算出了这个相互作用哈密顿量映射到qubit体系的形式：

对于这种负隅顽抗的复杂Hamiltonian，恐怕最好的办法就是作Trotter分解了吧。最后，Natalie Klco最终得出了模拟标量的量子线路。

至此，我们已经完成了如何在一台量子计算机上模拟一个实标量场的构建。只要我们有一台足够好的量子计算机，就能在线路结束的时候通过测量布局重构到标量场

。

但是很遗憾我们目前还没有这样一台量子计算机。注意上面的线路每一轮需要20 个CNOT门，若做粗略的估计场的行为，只需要重复5个轮次，这就是100个CNOT门。而CNOT的保真度，正是当今量子计算机的命门之一。目前在超导量子计算机和离子阱系统中，该门的精度极限也就在99.6%左右，因此做粗略估计，最终状态的保真度仅在0.67左右，这还是忽略了退相干和退相位的情况。

尽管目前实现这一算法仍有困难，我依然很看好在NISQ时代的中后期我们使用这一方法模拟数百个能级的系统，甚至实现类比模拟难以实现的SYK模型等。在后续的工作[11] 中，Preskill等人已经将其拓展到费米子系统。可以预见的是，未来模拟多个不同的场之间的相互作用是可能的。如果以模拟即创造的眼光来看，我们将获得在量子计算机上，创造人造物质的能力。届时，物理学工作者的工作方式又将发生翻天覆地的改变。

这必是伟大的改变。

参考文献

[1] Richard P. Feynman. Simulating physics with computers. International Journal of Theoretical Physics **volume 21**, pages467–488(1982)

[2] Wen Xiao Gang. Quantum field theory of many-body systems: from the origin of sound to an origin of light and electrons. Oxford University Press, Oxford, 2007.

[3] J Zhang, P W Hess, A Kyprianidis *et al*. Observation of a discrete time crystal. *Nature* **volume 543**, pages217–220(2017)

[4] Soonwon Choi, Joonhee Choi, Renate Landig *et al*. Observation of discrete time-crystalline order in a disordered dipolar many-body system. *Nature* **volume 543**, pages221–225(2017)

[5] Jared Rovny, Robert L. Blum, and Sean E. Barrett. Observation of Discrete-Time-Crystal Signatures in an Ordered Dipolar Many-Body System. *Phys. Rev. Lett*. **120**, 180603

[6] Feng Mei, Qihao Guo, Ya-Fei Yu *et al*. Digital Simulation of Topological Matter on Programmable Quantum Processors. *Phys. Rev. Lett*. **125**, 160503

[7] Stephen P. Jordan, Keith S. M. Lee, John Preskill. Quantum Algorithms for Quantum Field Theories. *Science*  01 Jun 2012: **Vol. 336**, Issue 6085, pp. 1130-1133

[8] John Preskil. Simulating quantum field theory with a quantum computer. arXiv: 1811.10085

[9] Alexei Kitaev, William A. Webb. Wavefunction preparation and resampling using a quantum computer.  arXiv:0801.0342

[10] Natalie Klco and Martin J. Savage. *Phys. Rev. A* 99, 052335

[11] Stephen P. Jordan, Keith S. M. Lee, John Preskill. Quantum Algorithms for Fermionic Quantum Field Theories. arXiv: 1404.7115