如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。
数的整除的特征：
（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。
（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。
（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。
（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。
（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。
（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。
（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。
例题与方法指导
例1.一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.
思路导航：
一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能
23 0 56 0 或23 8 56 8
又 23056088=2620
23856888=2711
所以,本题的答案是2620或2711.
例2.123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.
思路导航：
因为36=94,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1 2 … 9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□ □之和是0（0 0）、9（1 8，8 1，2 7，7 2，3 6，6 3，4 5，5 4）和18（9 9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.
所以,这个数的个位上的数最小是0.
例3.下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已
991个 991个
知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.
思路导航：
33…3□44…4
991个 991个
=33…310993 3□410990 44…4
990个 990个
因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要
990个 990个
3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.
例4.有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.
思路导航：
三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有
当和为33时,三个数是10,11,12；
当和为66时,三个数是21,22,23；
当和为99时,三个数是32,33,34.
所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。
[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：
设三个连续自然数为n,n 1,n 2,则
n (n 1) (n 2)
=3n 3
=3(n 1)
所以，能被3整除.
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