神秘的量子理论
《量子》历史之旅(二)
高山
面对神秘的量子，人们感到脚下赖以支撑的经典土地已变得不再牢固，顷刻间他们感到从未有过的无依无靠。两百多年前牛顿所建立的宏伟的经典理论大厦曾经给了他们多少勇气和力量，也让他们的心灵在那纷扰的尘世里获得了多少慰籍与安宁。然而，量子的出现似乎突然间使这座确定性的经典理论大厦坍塌了，留下的只是一些支离破碎的经典残片，人们在困惑和不安中度过了备受煎熬的1/4个世纪。但是，顽强的人类从不愿服输，他们决心在这片经典废墟上建立起一座更加辉煌的量子理论大厦。
1923年12月10日，在巴黎大学50年节的物理学庆祝会上，经典物理学大师洛伦兹发表了著名的演讲“旧的力学和新的力学”。他认为，尽管已有理论具有伟大的优美性和极端的重要性，但不幸的是物理学家们并没有真正理解它，他们不理解普朗克的能量子假设，也不理解玻尔的定态轨道。洛伦兹宣称，人们必须发展出一种关于量子的新的力学，一种非连续性的力学。1924年，玻恩在一篇名为“关于量子力学”的文章中首次将这一有待建立的新力学命名为量子力学。
一个问题，两个答案
面对如此艰巨的任务，爱因斯坦和玻尔不愧为量子探险的领路人，他们深邃的物理直觉和具有预见性的大胆思想终于引导其他探险者发现了通往量子力学的道路。
图1 量子探险的两条道路
沿着玻尔原子理论和对应原理所指引的方向，海森伯发现了通往量子力学的魔矩阵之路。他通过放弃经典轨道模型，而只研究与发射光的频率和强度相对应的那些量之间的关系，建立了只包含频率和振幅的新的力学方程，这最终导致了量子力学的矩阵形式的建立。
通往量子力学的另一条道路是由爱因斯坦开创的，它更加充满戏剧性。1905年，爱因斯坦提出了光量子假说，之后又发现了光的波粒二象性（1909）；1923年，德布罗意发展了爱因斯坦的思想，提出了物质波假说，认为一切物质都具有波粒二象性；最后，薛定谔于1926年找到了物质波所满足的运动方程，从而建立了量子力学的波动形式。
电子没有运动轨道！
“在我看来最重要的问题就是：定态中的确定的电子轨道到底在多大程度上可以被谈到。我相信这根本不能被认为是不言而喻的……海森伯怀疑谈论确定轨道的可能性，我认为他在这一点上准确地打中了目标。”——泡利致玻尔，1924年
图2 经典理论与量子假设
水火不相容
在20年代初，人们已渐渐认识到，玻尔原子理论是经典理论与量子假设的一种不和谐的混合物，它不可能是最终的理论，因为经典理论与量子假设是水火不相容的。
当时最让人们困惑的一个问题是，尽管玻尔的理论可以预言氢原子的光谱频率，并且与观察结果相一致，但是这些频率与玻尔所假设的电子环绕原子核运动的轨道频率以及它们的倍频都不相同。人们开始意识到，经典轨道的应用或许是根本不适当的，而一些思想更激进的年青人，包括海森伯和泡利，已经深信经典轨道模型必须在原子领域中被彻底抛弃。
图3 原子中的电子
1924年，玻尔的助手、荷兰人克拉默斯沿着“消除轨道”之路取得了第一个重要进展，他成功地获得了第一个具有完全量子形式的色散关系式。这一结果“不再显示对多周期体系的（即轨道的）数学理论的更多回忆”。玻恩后来评论说，“这是从经典力学的光明世界走向尚未探索过的、依然黑暗的新的量子力学世界的第一步。”
如果轨道运动的观念是不正确的，那么原子中的电子到底是怎样运动的呢？我们又应当如何描述它呢？在克拉默斯成功的激励下，海森伯开始着手“制造量子力学”，一种没有轨道运动的新的力学。
魔术乘法表
“我的所有微弱努力就是要消除并适当地替换掉那个无法观察到的轨道。”——海森伯致泡利，1925年
1925年5月，北海赫尔兰岛
夕阳西下，辽阔的北海上洒满落日的余辉，海鸟在岸边欢快地飞舞。哥廷根大学年轻的助教海森伯正在海边散步，他时而眺望远方的落日，时而低头沉思。由于患了枯草热病
1，海森伯不得不到这个人烟稀少的孤岛来休假。
图4 海森伯
海森伯的思绪仍然萦绕在那些令人困惑的量子问题上，现在精神的自然放松让他压抑已久的灵感不断迸发出来，此时潜在的革命性思想最容易冲破传统观念的束缚。他在想，既然电子没有轨道，那么通常的位置和速度描述将不再有意义，于是必须利用新的描述量来建立理论。这时，玻尔的对应原理、克拉默斯的色散关系不断出现在他的脑海中，他意识到通过原子辐射的频率和强度也许可以建立一种新的力学理论。
美妙的思想就是有如此的魔力，一旦你抓到了它，你便踏进了新理论的大门。“那是在夜里三点钟左右，计算的最后结果出现在我的面前，……我深深震惊了”。当别人还在对电子轨道恋恋不舍、犹豫不决时，彻底抛弃它的海森伯终于发现了一套新的系统的数学方案——魔术乘法表，其中原子辐射的频率和强度被按照一定的规则排列成一个数的方阵，方阵之间按照一种新的乘法规则进行运算。
回到哥廷根后，海森伯立即将他的新方案写成一篇论文，并于7月寄给《物理学杂志》发表。同时，海森伯的导师玻恩进一步研究了他的数学方案，并发现它正是70多年前由数学家们发明的矩阵乘法理论。之后，玻恩、约尔丹和海森伯合作完成了著名的三人论文《论量子力学Ⅱ》，第一次提出了一种系统的量子理论。在这个理论中，经典的牛顿力学方程被矩阵形式的量子方程所代替，后来人们将这个理论称为矩阵力学。
图5 狄拉克
矩阵力学提出之后，人们又进一步对其进行了数学上的分析和发展，其中包括玻恩和维纳提出的量子力学的算符形式，以及狄拉克所发展的q数理论等等。1925年12月25日，爱因斯坦在给好友贝索的信中对新理论评价道，“近来最有趣的理论成就，就是海森伯－玻恩－约尔丹的量子态的理论。这是一份真正的魔术乘法表，表中用无限的行列式（矩阵）代替了笛卡尔坐标。它是极其巧妙的……”
波需要传播方程！
“看来，粒子的每一运动都伴随着一个波场，……这个场（它的物理性质目前还不清楚）在原则上应该是可观测的。”——爱因斯坦，1924年
当量子力学的矩阵形式横空出世之时，另一股源自爱因斯坦的量子潜流正蓄势迸发，并将以更加优美的形式出现。1924年，爱因斯坦在一篇文章中首次提到了德布罗意的物质波理论，正是这篇文章使更多的物理学家了解到德布罗意的新思想，并且由于爱因斯坦的权威性而开始认真考虑它。
图6 薛定谔
1925年秋，在同事德拜的建议下，薛定谔开始研读德布罗意刚刚发表在《物理学纪事》上的文章，并准备就德布罗意的理论做一次报告。这期间，薛定谔深入研究了德布罗意的理论，并开始认真对待物质的波动本性。他甚至认为，波现象是基本的，是构成世界的基础，而粒子只是表面的、导出的现象。在给好友兰德的信中薛定谔说，“我也强烈地倾向于那种方法（波理论）……它（德布罗意的理论）简直太令人激动了，但仍然存在一些非常严重的困难……”
12月7日，薛定谔做了关于德布罗意理论的报告，但德拜认为他的讨论方式过于简单，并建议为了正确处理波，应当有一个波方程。于是，薛定谔开始认真考虑物质波的可能形式，以及它所遵循的传播方程。
思想就是这样，只有你深信它、理解它，它才会在你的头脑中扎根，并结出累累硕果。实际上，当薛定谔开始相信德布罗意的物质波思想，并意识到必须有一个波方程来描述物质波时，他已经敲响了波动力学的大门。
神秘的波函数
你的方程出自于一个真正的天才。——爱因斯坦致薛定谔，1926年
1926年1月，瑞士玫瑰山谷（Arosa）
瑞士的玫瑰山谷是欧洲著名的滑雪胜地，每年圣诞节期间人们都喜欢到这里滑雪度假。1925年的圣诞节，苏黎世大学教授薛定谔和他的女友也相约来到玫瑰山谷度假，一直为物质波所困扰的薛定谔想借此机会放松一下。
那是一个晴朗的午后，温暖的阳光透过山坡上缀满白雪的矮松照到蜿蜒的山间小路上，薛定谔正在散步。天蓝蓝的，偶尔有几朵白云飘过，两三只可爱的小鸟在林间叽叽喳喳地追逐游戏。凉爽的空气让薛定谔感到从未有过的清醒。几个月以来，德布罗意的物质波思想一直占据着他的思绪，好友德拜的建议也在向他挑战，“应当有一个波方程”，去找到它！……
扎实的数学基础和长期研究波动问题的丰富经验帮助了薛定谔，经过几次失败的尝试之后，他终于发现了物质波的波动方程，并用这一方程成功地解决了氢原子的能级问题，计算结果同实验数据非常吻合。
随后，薛定谔在《物理学纪事》上连续发表了6篇论文，就此宣布了量子力学的第二种形式——波动力学的诞生。在薛定谔的理论中，电子的运动状态由一个神秘的波函数来描述
2，它随时间的变化遵循一个连续的波动方程，这个方程后来被称为薛定谔方程。
1926年5月24日，量子的发现者普朗克在给薛定谔的贺信中说：“你可以想象我怀有多大的兴趣和热情来研究你那划时代的工作……”
孰是孰非？
人们已经被恼人的量子问题折磨了1/4个世纪，然而，在短短几个月之内竟然同时出现了两种看起来截然不同的量子理论，这真是一个奇迹！它既让人们高兴，又让人们迷惑。究竟谁是正确的呢？
即使对于新理论的创建者们，在开始时也仍然不理解他们的发现，但却本能地反对对方的理论。海森伯在给泡利的信中说，“我发现，薛定谔这个人有多好，他的物理学就有多怪。当你听他演讲时，你会发现自己已经倒退了26年。事实上，薛定谔把每一件‘量子理论’味道的东西都扔到汪洋大海中去了……于是就不难建立一种理论了，但是它却干脆和经验相抵触。”薛定谔同样回敬说，“当我看到一种蔑视任何形象化的、极为困难的超级代数方法时，我要是不感到厌恶，就会感到沮丧。”
可以理解，老一代物理学家们几乎都喜欢薛定谔的波动理论，因为它似乎又恢复了经典的连续性，而没有讨厌的量子跃迁。此外，微分方程也远比矩阵更为物理学家们所熟悉。
爱因斯坦在4月26日给薛定谔的信中表达了他的意见，“我确信利用你对于量子条件的表述你已经取得了决定性的进展，正如我确信海森伯－玻恩的方法是令人误解的。”
数学的统一
上帝有时很喜欢捉弄人。在一阵争论之后，冷静下来的薛定谔却发现，海森伯的矩阵力学和他的波动力学在数学上居然是等价的，在题为《论海森伯—玻恩—约尔丹的量子力学和我的量子力学的关系》的论文中他首次宣布了两种理论之间的等价性。此时，泡利也独立地发现了这种等价性。之后，狄拉克通过变换理论进一步把矩阵力学和波动力学统一起来。
图7 冯·诺依曼
1932年，后来成为计算机之父的冯·诺依曼利用希尔伯特空间等数学工具，以更加明确的形式严格证明了矩阵力学和波动力学之间的数学等价性。同时，在《量子力学的数学基础》一书中，冯·诺依曼还给出了量子力学的第一个严格的公理化表述。根据他的总结，波函数遵循两种完全不同的演化过程，第一类过程为瞬时的、非连续的波函数坍缩过程，所谓波函数坍缩是指波函数在测量后将改变为对应于测量结果的新的波函数；第二种过程为连续的波函数演化过程，它严格遵循薛定谔方程。
量子时代来临
从此，人类开始迈入量子时代。越来越多的人投入到量子力学的应用研究中，出现了原子物理学、固体物理学、量子化学、量子宇宙学等大量新兴学科；同时，基于量子理论的新技术也不断涌现，如原子能技术、激光技术、电子计算机和电讯技术等，这些量子技术深深地改变了人类的现代生活。
但是，它究竟说了什么？
现在，人们终于有了一套系统的数学方案——量子力学，但是关于它的物理意义却并不清楚。利用薛定谔方程进行计算是简单的，但是要弄清方程中波函数的真实含义却成了一个新的挑战。量子的所有神秘似乎都浓缩在了这个即熟悉又陌生的波函数和它的方程中。
也许方程的发现者最有发言权。薛定谔认为，波函数是一种在空间中真实存在的波，而粒子则是波的聚集——波包。但是，根据薛定谔方程，波包随时间的演化会发生扩散，从而明显与粒子的稳定性不相符合；同时，多粒子波函数的多维性也使这种解释不能成立。因此，即使是发现者本人也未能理解它所发现的东西。
波函数和它的演化方程——薛定谔方程究竟意味着什么呢？所有的人再一次为这个新的迷题所困扰。
下期待续
注1：一种对花粉过敏的病症。
注2：薛定谔用希腊字母ψ来表示这个神秘的波函数，ψ的发音为普赛。
《量子》历史之旅(一)·发现量子《量子》逻辑之旅(一)·量子的存在
