原本以为第一节课的课后作业会有不少小伙伴给我发作业纸,没想到只有四个,有点惨……各位抓紧啊。
言归正传,昨天的集合讲解只是一个入门,今天主要讲解一下集合之间的基本关系有哪些。
子集
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集。
符号语言:若任意a∈A,均有a∈B,则A⊆B或 B⊇A
PS:“⊆”读作包含于,表示的是集合与集合之间的关系,与之前上一节课我们所学的“∈”不同,那是元素与集合之间的关系,左小右大!
“⊇”这是包含的意思,左大右小!
真子集
如果集合A⊆B,存在元素x∈B,且元素x不属于集合A,我们称集合A与集合B有真包含关系,集合A是集合B的真子集(proper subset)。记作A⊊B(或B⊋A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)。
举个例子:
A={1,2,3},B={1,2,3,4},所以A⊊B
真子集与子集的区别
1、子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素,有可能与另一个集合相等;
2、真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在相等。
集合相等
两个集合A,B,如x∈A则x∈B且x∈B则x∈A叫做A=B
更通俗的讲:两个集合的元素完全相同就是相等,只要有一个元素不同就是不相等。用包含的概念来说就是:A包含于B,而且B包含于A,叫做A=B,用集合符号来表示,集合相等的定义是:两个集合A,B如果A⊆B且B⊆A叫做A=B.
在这里可以参照上一节课讲的集合三要素来判定!
非空真子集
如果集合A⊊B,且集合A≠∅,集合A是集合B的非空真子集
全集
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(通常也把给定的集合称为全集),通常记作U。
空集
空集的是指不含任何元素的集合称为空集。空集是一切集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。空集不是无;它是内部没有元素的集合。
我们可以打一个很简单的比方,比如说:将集合想象成一个装有香蕉的袋子,袋子可能是空的,但袋子本身确实是存在的。
如此已经讲完了第二讲当中的几个概念,想必到现在已经大致掌握了,在谈及到空集、子集、真子集、非空真子集中有这么一个知识点是学校老师乐于讲解的,那就是个数问题,我们一起来看看:
假设非空集合A中含有n个元素,则有
举例:
①{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4},{1, 2, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}; ∅⊊{∅}。但不能说{1, 2, 3}⊊ {1, 2, 3}。
②设全集U为{1, 2, 3},则它的:
子集:{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、∅;
真子集:{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、∅
非空真子集{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}
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参考资料
[1]王后雄:教材完全解读第一章节
[2]教材解析全解
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