【标题】浅谈概率论在生活中的应用
【作者】秦 挺
【关键词】起源和发展 运用 总结
【指导老师】宋 安 超
【专业】数学与应用数学
【正文】
1引言
概率论是通过大量的同类型随机现象的研究，从中揭示出某种确定的规律，而这种规律性又是许多客观事物所具有的，因此，概率论有着极其广泛的应用。 概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳：及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计：电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。根据概率论中用投针试验估计 值的思想产生的蒙特卡罗方法，是一种建立在概率论与数理统计基础上的计算方法。借助于电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表面物理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展。
2 预备知识
2.1概率论的起源
三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现 点至 点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想?如果同时掷两颗骰子，则点数之和为 与点数之和为 ，哪种情况出现的可能性较大，
世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德梅耳，发现了这样的事实?将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢，后人称此为著名的德梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得 局便算赢家。如果在一个人赢 局，另一人赢 局时因故终止赌博，应如何分赌本，诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。数学家们“参与”赌博参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。 帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一
个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。 年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了 年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。 年，雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世 年之久。雅可布的侄子尼古拉贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲掷一次出现正面，则乙付给甲一个卢布：若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲 个卢布：若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲 个卢布。一般地，若甲前 次掷得反面，第 次掷得正面，则乙需付给甲 个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博而不致亏损乙方，
尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。但其结果是很奇特的，所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少钱给乙，只要赌博不断地进行，乙肯定是要赔钱的。走出赌博,随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“橡莫弗——拉普拉斯定理”，把橡莫弗的结论推广到一般场合，还建立了观测误差理论和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会有更大的应用价值，是否能有更大的发展成为严谨的学科。
概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是从概率诞生时起人们就关注的问题，这些年来，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，一直拖了三百年才得以解决。 20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立，奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳：及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计：电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。根据概率论中用投针试验估计π值的思想产生的蒙特卡罗方法，是一种建立在概率论与数理统计基础
上的计算方法。借助于电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表面物理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。
概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展。
3 概率论在生活中的运用
3.1应用举例
如上所述，由于概率论是通过大量的同类型随机现象的研究，从中揭示出某种确定的规律，而这种规律性又是许多客观事物所具有的，因此，概率论有着极其广泛的应用。
众所周知，接种牛痘是是增强机体抵抗力、预防天花等疾病的有效方法，然而，当牛痘开始在欧洲大规模接种之际，它的副作用引起了人们的争议。为了探求事情的真相，伯努利家族的另一位数学家丹尼尔。 伯努力根据大量的统计数据,应用概率论的方法,得出了接种牛痘能延长人的平均寿命三年的结论,从而消除了人们的恐惧与怀疑,为这一杰出的医学成果在世界范围内普及扫除了障碍。 另一个有趣的例子是对男女婴出生率的研究。一般人或许会认为,生男生女的可能性是相等的,事实并非如此,一般说来,男婴的出生率要比女婴高一些.最后发现并研究这一现象的不是生理学家,而是数学家。法国数学家拉普拉斯是一位天才的应用大师,他曾成功地将许多数学知识应用于各个领域,1814年他出版了<<概率论的哲学探讨>>,书中根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料，研究了生男生女的概率问题，发现，在10年间，这些地区的男女出生数之比总是摆动在51.0248.98附近，为了弄清这一点，拉普拉斯又特地做了实地调查，发现巴黎地区“重女轻男”，有抛弃男婴的恶俗这一非自然因素，当然会影响统计规律。为什么男婴的出生率会略高于女婴呢，拉普拉斯从概率论的观点解释说?这是因为含x染色体的精子与含y染色体的精子进入卵子的机会不完全相同。
3.2 自主探究频率和概率的异同
频率和概率是研究随机事件发生的可能性大小常用的特征量，它们既有区别也有联系.随机事件A发生的频率，是指在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律.在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率.由此可见，频率是概率的近似值，随着试验次数的增多，频率会越来越接近于概率，概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率.概率是由大量数据统计后得出的结论，是一种大的整体趋势.概率是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数。 例如:掷一枚硬币，正面和反面出现的概率相等，都是 ，这是经过上百万次试验取得的理论数据.某人只掷20次，正面出现的频率为 ，反面出现的频率仅为 . 若就此下结论，出现正面的可能性一定大于出现反面的可能性就不对了。 再比如，对某品牌乒乓球质量抽查，得到如下数据?
在上述抽查试验中可以看出，当抽取的乒乓球个数较少时，优等品的频率波动较大，但当抽取的球数很大时，频率基本上稳定在0.95，在其附近摆动，所以可认为该品牌的乒乓球优等品的概率是 。
由此可见，概率和频率的关系是整体和具体、理论和实践、战略和战术的关系，频率随着随机事件发生次数的增加，会趋向于概率，这是求一个事件概率的最基本的方法。
概率的统计定义是用频率表示的，但它又不同于频率的定义，只是用频率来估算概率.频率是试验值，有不确定性，而概率是稳定值。
3.3 指点迷津生活中的概率问题
【问题1】 某同学投篮的命中率为 , 则该同学在今天投篮比赛时, 投球 次,一定能进 次。
【错因及正解】 这种判断错误.该同学投篮的命中率可以认为是投中的概率，是他经过上百、千次甚至万次的练习得出的，是个稳定值，命中率为 说明他的投篮技术高，但不能代表他每次投篮都十拿九稳。 次投篮相当于做了 次试验，结果可能是 次命中，或 次命中或 次都命中等多种情况，甚至包括一次也没中。 【问题2】 某超市“十一”国庆节期间，举办了一次大型的购物有奖活动)购物满2元即赠奖券一张，可摸奖一次?，中大奖概率为 ，那么某人若买 元的商品，一定能中大奖。
【错因及正解】根据概率的定义，该人不一定能中大奖.买 元的商品相当于做 次试验，每次试验都是随机的，所以 次的结果也是随机的，这就是说，每张奖券可能中奖，也可能不中奖。
【问题3】 6名短跑运动员用抽签的方法决定谁在第几跑道，若让甲先抽，乙后抽，那么甲抽到第二跑道的可能性肯定比乙抽到第二跑道的可能性大。 【错因及正解】 抽签有先后，但每人抽到第二跑道的概率却相同. 原因是?甲先抽，抽到第二跑道的概率为 。
乙接着抽，他抽到第二道的概率为 。
以此类推，丙抽到第二跑道的概率是 。
排在最后抽的运动员抽到第二跑道的概率为 。
可见抽签有先后，但结果出现的机会却是均等的.概率知识具有广泛的实际应用价值，利用概率统计法可以帮助我们对现实生活中的某些现象进行合理解释，对某种
事情准确预测、科学制定决策等。
3.4 学以致用概率的实际应用
【例1】 为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法?先从水库中捕出一定数量的鱼，如 尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库. 经过适当的时间，让其和水库中其他的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如 尾，查看其中有记号的鱼，设有 尾，根据上述数据，估计水库中鱼的尾数。 【分析与解】 设水库中鱼的尾数为 ， 是未知的，现在要估计 的值，将 的估计值记作 )读作“ 估”。
假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A=“带有记号的鱼”，则由古典概型可知 。
第二次从水库中捕出 尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察 次，其中带有记号的鱼有 尾，即事件A发生的频数m=40，由统计概率的定义可知 。由 可解得 ，即 。 所以，可估计水库中约有鱼 尾。
【小结】利用已学的随机事件的概率、古典概型的知识可求解实际生活中某些问题的概率. 如我们可从不同角度去考虑一个实际问题，将问题化为不同的古典概型来解决，使所得到的古典概型的基本事件尽量少，问题解决就越简单。 【例2】 彩票作为国家发行的一种“税”，是广大彩民的一种“自愿税”，是政府的收入.因为彩票中大奖概率极小，其收益与风险不成比例，对于普通百姓来说只是一种游戏或娱乐。“买彩票中大奖”还是大多数普通百姓的梦想，那么能否提高中奖的机率，有什么样的理论依据，
【分析与解】 彩票号码的摇出是随机事件，也可以说成是一种随机现象，属概率论的基本概念.根据概率分布的原则可知?
奇数、偶数出现的次数应各占总数的 ：
大数、小数出现的次数应各占总数的 ：
01-10区段，11-20区段：21-30区段三区段的数出现的次数应各占总数 ： 各数出现的次数，随着试验次数的增加应不断靠近平均值)由于不确定因素除外?。
这样看来，随机的摇奖事件随着试验)开奖?次数的增加都会显示出它的某些规律性，而这种规律性可以借助于概率论的知识，利用概率统计法，分析判断号码。 在买彩票选择号码时可考虑统计常用的基本指标，如奇偶比、大小比、区段等. 通过数字统计，运用概率理论可判断冷热号码出现的周期，分析中奖号码可能出现的区段、缩小精选号码的范围、将一些出现概率较小的数字组合删除，为新一期选择号码提供参考依据，从而达到提高中奖的机率.对于广大彩民来说，只要经过大量的观察统计，就能发现各中奖号码及其相关指标的规律性，据此进行选号投注，就可大大提高中奖的机率。
4 概率论在生活中应用的总结
研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是指这样的客观现象，当人们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。例如,掷一硬币,可能出现正面或反面：测量一物体长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能有差异：在同一工艺条件下生产出的灯泡,其寿命长短参差不齐。这些都是随机现象，随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,随机试验的每一可能结果称为一个基本事件, 一个或一组基本事件又通称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相
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