在微积分中为什么f(x)dx是小矩形的面积？

这个回答的关键是理解 微分 dx 的意义，我们需要从头说起：

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对于 大部分 函数 y = f(x)，人们发现其对应的曲线 是”光滑“的，基于生活的经验：

光滑的表面，局部是没有棱角的，是平直的。

这翻译成数学语言 就是：

”光滑“的函数 的 局部变化近似于线性函数。

具体写成公式如下：

其中，Δy 表示 函数 y 在 每一个 x 点 附近，因为 局部变化量 Δx 的变化 而引起 的局部变化量；微分 dy = A(Δx) 是一个线性函数，它可以保持线性性运算：

• A(Δx₁ Δx₂) = A(Δx₁) A(Δx₂)

• A(kΔx) = kA(Δx)

利用上面的性质二，有，

A(Δx) = A(Δx⋅1) = ΔxA(1) = A(1)Δx

当 A 确定时，A(1) 是常数，于是，令，

K = A(1)

则，微分可表示为：

dy = KΔx

再结合前面的公式，有：

f(x Δx) - f(x) = KΔx o(Δx)

K = (f(x Δx) - f(x)) / Δx - o(Δx) / Δx

等式两边取极限，有：

令，

称 y' 为 y 在 x 点的导数。

于是，

K = y'

微分表示改写为：

dy = y'Δx

考虑，Δx 就是 函数 y = f(x) = x 的局部变化量，对于 y 有：

dy = y'Δx = 1⋅ Δx = Δx

而，

dy = df(x) = dx

于是，我们得到：

从而，得到最终的微分形式：

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在了解了 微分 dx 的意义以后，就很好回答题主的问题了：

在 f(x)dx 中：

• dx = Δx 是 在 x 点 附近的 一个 局部变化量，对应 x 轴上的 区间 [x, x Δx]（或 [x Δx, x]）；

• f(x) 是 x 点 的函数值，对于 Y 轴上区间 [0, f(x)] （或 [f(x), 0]；

于是， f(x)dx 就是 以 |Δx| 为底边 以 |f(x)| 为高的矩形面积。