“不定”三阶幻方：已知两数位于九宫格同一侧边，中心数未知！

本文主要探讨，仅已知两数的“不定”幻方的求解，依据已知两数在九宫格中的不同位置进行分类。

一、相关概念界定

“不定”三阶幻方是指，九宫格内中心数a5的取值不确定，甚至有无数种可能取值。

图一

中心数、幻和均未知是指，九宫格内中心数a5或幻和取值未事先给定。

仅已知两数是指，九宫格内只有两处数字事先给定。

一般而言，若九宫格可填入数字范围未知（如填入数是否为连续自然、是否为连续等差数列等）、中心数与幻和均未知，则九宫格至少已知三数，其中心数方有可能唯一存在。否则该幻方必定为“不定”幻方。具体参见“小学低年级三阶幻方的分类求解：只知三数，中心数、幻和均未知！”一文（记其为文一），其链接如下：

https://m.toutiao.com/is/iJry4fAs/?= 小学低年级三阶幻方的分类求解：只知三数，中心数、幻和均未知！ - 今日头条

换言之，如果九宫格仅已知两数（不含a5中心数），再无其他约束条件，其必定为“不定”幻方。

二、“不定”三阶幻方的分类

依据已知两数数所处位置，可分为三类。

情形A、已知两数位于九宫格的同一对角线或同一中间行(列），如图二中4条线所示。

图二

此情形中心数要么已知要么可求出，本文不予讨论。

情形B、已知两数位于九宫格同一侧边，如图三中4线所示。

图三

情形C、已知两数位于九宫格“铁三角”的顶点处。例如，图二中红色三角形三顶点的a2、a6及a7三者只知其二。

图四

注：依据“铁三角性质”可知，图二中a2、a6及a7只知其二情形，等价于a2、a6及a7全部已知情形，详见文一。

三、“不定”三阶幻方分类求解：情形B

1）限制条件：填入数为连续自然数。

1、依据已知数的单双，确定中心的单双：顶点数为单(双)，中心数为双(单)；横竖中间数为单(双)，中心数为单(双)。

2、依据已知数的差，确定可填入连续自然数组合的可能取值范围：若已知两数之差大于8，则无解；若已知两数ai与aj之差为8，则只有1种可能组合“ai-aj”（不妨设ai＜aj）；若已知两数ai与aj之差为7，则只有2种可能组合：（ai-1）-aj，ai-(aj+1)；以此类推。

以图五幻方为例，加以说明。

图五

由于右下顶点为双数22，图二幻方的中心数只能取单数。由22-15=7，可知填入连续自然数的可能组合只有2种：14-22或15-23。由于组合14-22对应的中心数18为双数，所以连续自然数组合只有15-23，其中心为19，按图六填入即可。

图六

2）限制条件：填入数构为等差数列(连续自然数情形除外)。

仍以图五幻方为例。

1、由22-15=7，求出“7”的因数，只有1和7。

2、公差为1情形即为连续自然数；公差为7情形，可能的取值有3种：1，8，15，22、29，36，43，50，57；或8，15，22、29，36，43，50，57，64；或15，22、29，36，43，50，57，64，71。

3、由于右下顶点22为双数，中心数为单。而“8，15，22、29，36，43，50，57，64”的中间数为36，这与中心数为单不符，故舍去。

4、“15，22、29，36，43，50，57，64，71”对应的中心数与幻和分别为43和129，最小的两数15与22在同一行，即便最大71填入左下顶点，其和至多为108≠129，故舍去。

5、组合1，8，15，22、29，36，43，50，57按图七填入即可。

图七

3）无其他限制条件：填入数甚至可重复。

可设中心数为任一数字，逐一试解。

以图五幻方为例，设中心数分别为21及20，可得图八和图九中的数字不重复幻方。

图八

图九

以图五幻方为例，设中心数为22，可得图十中的数字可重复幻方

图十