【考点精讲】
1. 角平分线的性质定理：
（1）文字语言：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）符号语言：
∵OE是∠AOB的平分线，CF⊥OA，DF⊥OB ∴CF＝DF
（3）定理证明：在△DOF和△COF中，
∴△DOF≌△COF
∴CF＝DF（全等三角形的对应边相等）
（4）定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题。
2. 角平分线性质定理的逆定理：
（1）文字语言：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
（2）符号语言：
∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC＝PD
∴∠DOF＝∠COF（OP为∠AOB的平分线）。
（3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。
3. 关于三角形三条角平分线的定理：
（1）文字语言：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
（2）符号语言：
∵AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线
∴① AP、BQ、CR相交于一点I；
②若 ID⊥BC，IE⊥CA，IF⊥AB，则DI＝EI＝FI。
（3）定理证明：∵ AP平分∠BAC，IE⊥CA，IF⊥AB
∴EI＝FI（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
同理DI＝EI，DI＝FI
∴DI＝EI＝FI（等量代换）
（4）定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于几何作图问题。
（5）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。
【典例精析】
例题1 已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB＝AC，P为∠A内一点，PB＝PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE＝PF。
思路导航：连接AP，然后利用“边边边”证明△ABP和△ACP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAP＝∠CAP，再利用角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可。
答案：证明：如图，连接AP，
在△ABP和△ACP中，
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴∠BAP＝∠CAP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE＝PF。
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键。
例题2 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
思路导航：首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可。
答案：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形。
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线。
点评：此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定。由三角形全等得到DE＝DF是正确解答本题的关键。
例题3 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC。求证：AE是∠DAB的平分线。
思路导航：先过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，由平行线的性质可知EG⊥AC，由于E是BC的中点，可得出Rt△CGE≌ Rt△BHE，故GE＝EH，再根据角平分线的性质可知EF＝GE，故EF＝EH，进而可得出结论。
答案：证明：过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，
∵AB∥CD，EH⊥AB，
∴EG⊥DC，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
在△CGE与△BHE中
∴△CGE≌△BHE（ASA），
∴GE＝EH，
∵DE平分∠ADC，
∴GE＝EF，
∴GE＝EH，
∴EF＝EH，
∴AE是∠DAB的平分线。
点评：本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键。
随堂练习：下列各语句中不正确的是（ ）
A. 全等三角形的周长相等
B. 全等三角形的对应角相等
C. 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D. 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等
答案：两个三角形全等，则对应边和对应角都相等，故A,B都是正确的。D选项是线段垂直平分线的性质，故D正确。到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选C。
【总结提升】
角平分线与线段垂直平分线的对比理解：
角平分线 | 线段垂直平分线 |
| |
定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 | 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 |
逆定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上 | 逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 |
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合（点的集合是一条射线） | 线段的垂直平分线可以看做是和线段上两端点距离相等的所有点的集合（点的集合是一条直线） |
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等 | 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 |
（答题时间：15分钟）
1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点
D. 三条角平分线的交点
2.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上。下列条件中不能推出AB＝AB′的是（ ）
A. BB′⊥AC B. BC＝B′C C. ∠ACB＝∠ACB′ D. ∠ABC＝∠AB′C
3. 如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（ ）
A. 全部正确 B. 仅①和②正确
C. 仅①正确 D. 仅①和③正确
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE＋DE等于（ ）
A. 2cm B.3cm C. 4cm D.5cm
5. 如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（答案不唯一，只须写出一对即可）______。
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，那么D点到直线AB的距离是________cm。
7. 如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠CAB。交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6，求△DEB的周长。
8. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＋AD，AE平分∠BAD交CD于点E。求证：BE⊥AE。
1. D 解析：因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形三边的距离相等的点是三条角平分线的交点。故选D。
2. B 解析：如图：∵AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，
A. 若BB′⊥AC，在△ABC与△AB′C中，∠BAC＝∠B′AC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′，
∴△ABC≌△AB′C，
AB＝AB′；
B. 若BC＝B′C，不能证明△ABC≌△AB′C，即不能证明AB＝AB′；
C. 若∠ACB＝∠ACB′，则在△ABC与△AB'C中，∠BAC＝∠B′AC，AC＝AC，△ABC≌△AB′C，AB＝AB′；
D. 若∠ABC＝∠AB′C，则，△ABC≌△AB′C，AB＝AB′。
故选B。
3. B 解析：∵PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，AP＝AP
∴△ARP≌△ASP（HL）
∴AS＝AR，∠RAP＝∠SAP
∵AQ＝PQ
∴∠QPA＝∠SAP
∴∠RAP＝∠QPA
∴QP∥AR
而在△BPR和△QSP中，只满足条件∠BRP＝∠QSP＝90°和PR＝PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP
故本题仅①和②正确。
故选B。
4. B 解析：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥CB，
又BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CE＝DE，
∴AE＋DE＝AE＋CE＝AC＝3cm
故选B。
5. PC＝PD 解析：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD（角平分线的性质）。
故填PC＝PD。
6. 3 解析：由∠C＝90°，AD平分∠CAB
作DE⊥AB于点E
所以D点到直线AB的距离是DE的长
由角平分线的性质可知DE＝CD
又BC＝8cm，BD＝5cm
所以DE＝CD＝3cm。
所以D点到直线AB的距离是3cm。
7. 解：△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AB＝6
根据勾股定理得2CB2＝AB2，
，
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD＝∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠DEA＝90°＝∠C
∴△CAD≌△EAD（AAS）
故△DEB的周长为：
。
8. 证明：延长AE、BC交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CFE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠CFE，
∴AB＝BF，
∵AB＝BC＋AD，BF＝BC＋CF，
∴AD＝CF，
∴△ADE≌△CFE，
∴AE＝FE，
∴BE⊥AE。
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