等腰三角形三线合一

　　什么是三线合一在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。简记为三线合一。（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）三线合一证明已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD等腰三角形ABC(AB=AC)等腰三角形ABC(AB=AC).在△ABD和△ACD中：∵ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）AB=AC(

　　在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。简记为三线合一。

　　（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）

　　已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

　　等腰三角形ABC(AB=AC)

　　等腰三角形ABC(AB=AC).

　　在△ABD和△ACD中：

　　∵ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）

　　AB=AC(等腰三角形的性质)

　　AD=AD（公共边）

　　∴△ADB≌△ADC（边.边.边)

　　可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等角形对应角相等）

　　∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义）

　　∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）

　　∴AD⊥BC

　　得证

　　① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

　　② 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

　　③ 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

　　如图，①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线

　　（1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下：

　　∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

　　∴△ABD≌△ACD(ASA)

　　∴AB=AC

　　（2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下：

　　∵AD是BC中线，

　　∴S△ABD=S△ACD，

　　作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

　　又∵AD平分∠BAC，

　　∴DE=DF，

　　∴AB=AC（等底等高）

　　（3）若①③，求证AB=AC。理由如下：

　　∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，

　　∴△ABD≌△ACD，

　　∴AB=AC

　　综上所述，逆命题成立。