一、思想概述
数形结合法是解决数学问题的重要方法之一，体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的，将抽象的数式与具体的图形相结合与转化，把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下，将数与形进行巧妙转化，以形助数，以数解形，化难为易，有时会起到事半功倍的效果.
（1）以形助数：仔细观察图形的形状、大小、位置关系，充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.
（2）以数解形：要先充分挖掘出图形中的数量关系，使用代数式求解几何问题，根据图形建立方程或函数关系是常用的方法.
二、数形结合的几种常用方法
1、利用数轴进行数形结合
【知识点回顾】：
绝对值的几何含义：|a-b|是指数a与数b在数轴上的距离.
在化简绝对值或根式时，利用各数在数轴上的数量关系可以大大简化化简的过程.
2、利用图形的几何特性或代数含义来进行数形结合
【知识点回顾】
长方形的面积S=ab表示二个数相乘的积，即当二个数相乘时可以转化为长方形的相关知识来求解。
长方形的周长C=2(a+b)表示二个数相加的和的二倍。
完全平方公式（a士b）2=a2士2ab+b2 的几何含义是边长为a士b的正方形的面积。
求二个数之和的最小值的常用方法：1）以这二个数构造一个三角形，利用三角形的三边关系性质：二边之和大于第三边来求解；2） 利用二点之间直线距离最短的性质，将二数的和最小问题转化为找另一个点，使得此点与原二点间距离的和最小的问题。
例2：如图是四张全等的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式________．
解：
空白部分的面积可以看出是长边长为(a-b)的正方形，所以它的面积为
空白部分的面积也可以看作是边长为(a+b)的正方形与4个长方形面积的差，即
(a+b)2-4ab.
因此有恒等式：
(a+b)2-4ab=(a+b)2.
3、利用函数关系式或图像进行数形结合
【知识点回顾】
（1）一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时为递增函数；当k<>.其中k的几何含义是函数图像所在直线与x轴夹角的正切值.
其中在常见的实际应用的题目中，k会代表不同的实际含义，如在路程与时间的关系图中k表示速度；在质量与体积的关系图中，k表示密度.
互相平等的二条直线的k相同.
互相垂直的二条直线的k的乘积为-1.
中分别为递减函数; 当k<>.
其中k的几何含义是：|k|等于函数上任意一点与坐标轴围成的长方形的面积.
（3）二次函数具有最大值或最小值：常用于实际应用题中.
（4）利用相交的函数的交点求取值范围或解不等式.
【解析】将关系式转化为函数，利用函数图像或直观地得出不同值下的关系式的大小或取值范围.
例2：如图，E,F分别为边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=4/3，直线FE交AB的处延长线于G，过线段FG上的一个动点H作HM⊥AD，HN⊥AD，问当HM为多少时，矩形AMHN的面积最大，最大是多少？
4、巧建直角坐标系进行数形结合
【知识点回顾】
证明二条线段平行：求出二条线段所在直线的函数关系式，如果k相同，则平行.
证明二条线段垂直：求出二条线段所在直线的函数关系式，如果k1·k2=-1，则互相垂直.
【分析】
建立直角坐标系的技巧：一般以给定的图形的合适顶点或对称中心为原点，以直角边坐标轴建立直角坐标系，以方便设置各顶点的坐标值.
比如：
正方形或长方形：一般以一个顶点为原点，以二直角边建立坐标系.
菱形：一般以一个顶点为原点，以一条对角线为x轴建立坐标系.
等腰三角形：以三角形对称轴和与其垂直的底边为坐标轴建立坐标系.
例1：定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点;
分析：
本题给出的是菱形及边的数量关系，用直角坐标系中可以使用菱形是一个对称图形的特性进行解题.
证明：
1）以B为原点，以BD所在线段为x轴建立如下的坐标系.
设 A点坐标为（m，n），则D点坐标为（2m,0）,
2）过AB作△ABC，△MND的对称图，再以AB为x轴，A为原点建立直角坐标系，如下图：
例2：已知梯形ABCD，AD//BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，BC=3，
（1）如图1，若P为AB上一点，以PD、PC为边的平行四边形PCQD，请问对角线PQ是否存在最小值？若存在请求出最小值，若不存在说明理由.
(2) 如图2，若P为AB上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE、PC为边的平行四边形PCQE，请问对角线PQ是否存在最小值？若存在请求当P在何处时出有最小值，最小值是多少.若不存在说明理由.
解：
（1）因为PCQD为平行四边形，PQ和CD分别是二条对角线，所以PQ和CD的交点G点平分PQ，要求PQ最小，即求GP最小.
以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如下直角坐标系：
从上图可知，当GP最小时，实际就是求G点到y轴距离最短时，即GP⊥y轴.
（2）以上题的方法建立如下坐标系：
最小值为2.
（2）以上题的方法建立如下坐标系：
思考题
如图一正方形ABCD，E为BC上任意一点，连接AE，过E点作EF⊥AE交∠C的外角平分线于F点，求证：AE=EF.
点拨：本题的证明方法有很多，本例现要求请使用代数法进行证明.
【总结】数形结合思想是一种重要的数学思想，简而言之就是把数学中'数'和'形'结合起来解决数学问题的一种数学思想，通过'数'与'形'之间的对应和转换来解决数学问题.著名数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，因此同学们可以通过多观察多练习多总结，才能在平时的解题过程中有意识地开拓自己的思维视野.
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