浅谈初中数学数形结合思想


一、思想概述


数形结合法是解决数学问题的重要方法之一,体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的,将抽象的数式与具体的图形相结合与转化,把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下,将数与形进行巧妙转化,以形助数,以数解形,化难为易,有时会起到事半功倍的效果.

1以形助数:仔细观察图形的形状、大小、位置关系充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.

2以数解形:要先充分挖掘出图形中的数量关系,使用代数式求解几何问题,根据图形建立方程或函数关系是常用的方法.

 

二、数形结合的几种常用方法


1、利用数轴进行数形结合


【知识点回顾】:

绝对值的几何含义:|a-b|是指数a与数b在数轴上的距离.


【解析】

在化简绝对值或根式时,利用各数在数轴上的数量关系可以大大简化化简的过程.  



2、利用图形的几何特性或代数含义来进行数形结合


【知识点回顾】

长方形的面积S=ab表示二个数相乘的积,即当二个数相乘时可以转化为长方形的相关知识来求解。

长方形的周长C=2(a+b)表示二个数相加的和的二倍。

完全平方公式(a士b)2=a2士2ab+b2 的几何含义是边长为a士b的正方形的面积。

求二个数之和的最小值的常用方法:1)以这二个数构造一个三角形,利用三角形的三边关系性质:二边之和大于第三边来求解;2) 利用二点之间直线距离最短的性质,将二数的和最小问题转化为找另一个点,使得此点与原二点间距离的和最小的问题。




2:如图是四张全等的长方形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a、b的恒等式________.


解:

空白部分的面积可以看出是长边长为(a-b)的正方形,所以它的面积为 

空白部分的面积也可以看作是边长为(a+b)的正方形与4个长方形面积的差,即

(a+b)2-4ab.

因此有恒等式:

(a+b)2-4ab=(a+b)2.



3、利用函数关系式或图像进行数形结合


【知识点回顾】

   1)一次函数y=kx+b(k≠0),当k>0时为递增函数;当k<>.其中k的几何含义是函数图像所在直线与x轴夹角的正切值.

其中在常见的实际应用的题目中,k会代表不同的实际含义,如在路程与时间的关系图中k表示速度;在质量与体积的关系图中,k表示密度.

互相平等的二条直线的k相同.

互相垂直的二条直线的k的乘积为-1.


中分别为递减函数; 当k<>.

其中k的几何含义是:|k|等于函数上任意一点与坐标轴围成的长方形的面积.

3二次函数具有最大值或最小值:常用于实际应用题中.

4利用相交的函数的交点求取值范围或解不等式.

 

【解析】将关系式转化为函数,利用函数图像或直观地得出不同值下的关系式的大小或取值范围.



2:如图,E,F分别为边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点,CE=1,CF=4/3,直线FE交AB的处延长线于G,过线段FG上的一个动点H作HM⊥AD,HN⊥AD,问当HM为多少时,矩形AMHN的面积最大,最大是多少?




4、巧建直角坐标系进行数形结合


【知识点回顾】

证明二条线段平行:求出二条线段所在直线的函数关系式,如果k相同,则平行.

证明二条线段垂直:求出二条线段所在直线的函数关系式,如果k1·k2=-1,则互相垂直.

【分析】

建立直角坐标系的技巧:一般以给定的图形的合适顶点或对称中心为原点,以直角边坐标轴建立直角坐标系,以方便设置各顶点的坐标值.

比如:

正方形或长方形:一般以一个顶点为原点,以二直角边建立坐标系.

菱形:一般以一个顶点为原点,以一条对角线为x轴建立坐标系.

等腰三角形:以三角形对称轴和与其垂直的底边为坐标轴建立坐标系.

1:定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点;



分析

本题给出的是菱形及边的数量关系,用直角坐标系中可以使用菱形是一个对称图形的特性进行解题. 

 

证明:

1)B为原点,以BD所在线段为x轴建立如下的坐标系.


A点坐标为(m,n),则D点坐标为(2m,0),

2过AB作△ABC,△MND的对称图,再以AB为x轴,A为原点建立直角坐标系,如下图:

2:已知梯形ABCD,AD//BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,

1)如图1,若P为AB上一点,以PD、PC为边的平行四边形PCQD,请问对角线PQ是否存在最小值?若存在请求出最小值,若不存在说明理由.

(2) 如图2,若P为AB上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE、PC为边的平行四边形PCQE,请问对角线PQ是否存在最小值?若存在请求当P在何处时出有最小值,最小值是多少.若不存在说明理由.


解:

1因为PCQD为平行四边形,PQ和CD分别是二条对角线,所以PQ和CD的交点G点平分PQ,要求PQ最小,即求GP最小.

B为原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立如下直角坐标系:




从上图可知,当GP最小时,实际就是求G点到y轴距离最短时,即GP⊥y轴.


最小值为2.


2)以上题的方法建立如下坐标系:



最小值为2.

2)以上题的方法建立如下坐标系:

思考题

如图一正方形ABCD,E为BC上任意一点,连接AE,过E点作EF⊥AE交∠C的外角平分线于F点,求证:AE=EF.

点拨:本题的证明方法有很多,本例现要求请使用代数法进行证明.

 

 

【总结】数形结合思想是一种重要的数学思想,简而言之就是把数学中'数'和'形'结合起来解决数学问题的一种数学思想,通过'数'与'形'之间的对应和转换来解决数学问题.著名数学家华罗庚指出:“数缺形时少直观,形少数时难入微”,因此同学们可以通过多观察多练习多总结,才能在平时的解题过程中有意识地开拓自己的思维视野.


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