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量子引力的探针:黑洞物理

2018-02-24

物理学家费曼生前回答记者的提问时说,他余生中最希望自己能够解决两个问题:其一是量子色动力学中的色禁闭问题:其二是最子引力。直到今天,这两个问题还是困扰物理学家的最大的两个问题。

与通常的场论不一样,爱因斯坦的引力理论是一个高度非线性理论,与量子力学结合后,产生一些很难处理的问题。一个最为重要的问题是,当计及引力的量子涨落时,许多计算的结果是无限大,这些无限大不同于场论中的无限大,不能通过重新定义物理量如质量、牛顿常数来吸收。引力的量子问题在黑洞物理中有最为有趣的体现。

黑洞是爱因斯坦引力理论,也就是广义相对论的解。黑洞的数学存在毋庸置疑,数十年来的天文物理的发展提供了黑洞物理存在的根据。天文观测中的可能的黑洞的质量往往很大,远远大于一个太阳的质量。

黑洞在理论上从来都是引人入胜的一个话题。自从贝肯斯坦(Jacób D Bekenstein)在理论中证明黑洞有熵之后,每年都有许多人从不同的角度研究黑洞的量子物理。贝肯斯坦现在以色列的希伯来大学(Hebrew University)工作。

他是那种所谓的单篇工作物理学家,在1973年的工作之后,一直在做与黑洞的量子物理有关的工作。除了黑洞熵之外,他另一个有名的工作是熵与能量的关系,叫贝肯斯坦上限,我们在后面会提到。有人想出一种说法来贬低那种一生只在一个方向上做研究的人,叫做:“他还在改进和抛光他的博士论文。”贝肯斯坦的工作绝不能作如是观,他是那种不断有新的物理想法的人。他的所有工作中最困难的数学是积分,这并不说明他的文章易读——他的物理思想要求你有足够的直觉。

在1973年,贝肯斯坦并无量子引力理论可以利用,他是如何得到他的熵公式的呢?他用的是非常简单的物理直觉。首先,那时有大量的证据证明在任何物理过程中,如黑洞吸收物质,黑洞和黑洞碰撞,黑洞视界的面积都不会减小。这个定律很像热力学第二定律。该定律断言一个封闭系统的;脑在任何过程中都不会减少。于是贝肯斯坦把黑洞视界的面积类比于熵,并说明为什么熵应正比于面积,而不是黑洞视界的半径或半径的三次方等等。为了决定熵与面积的正比系数,他用了非常简单的物理直观。设想我们将黑洞的精增加1(这里我们用的熵的单位没有量纲,与传统单位相差一个波尔兹曼常数),这可以通过增加黑洞的质量来达到目的。如果熵与面积成正比,则熵与质量的平方成正比,因为史瓦兹希尔德半径与质量成正比。这样,如要将熵增加1,则质量的增加与黑洞的原有质量成反比,也就是与史瓦兹希尔德半径成反比。现在,如何增加黑洞的熵呢?我们希望在增加黑洞熵的情形下尽量少地增加黑洞的质量。光子是最“轻”的粒子,同时由于自旋的存在具有量级为1的熵。这样,我们可以用向黑洞投入光子的方法来增加黑洞的熵。我们尽量用带有小能量的光子,但这个能量不可能为零,因为光子如能为黑洞所吸收它的波长不能大于史瓦兹希尔德半径。所以,当黑洞吸收光子后,它的质量的增加反比于史瓦兹希尔德半径,这正满足将黑洞熵增加1的要求。对比两个公式的系数,我们不难得出结论:黑洞熵与视界面积成正比,正比系数是普朗克长度平方的倒数。

贝肯斯坦的方法不能用来决定黑洞:脑公式中的无量纲系数,尽管贝肯斯坦本人给出一个后来证明是错误的系数。当霍金听到关于贝肯斯坦的工作的消息时,他表示很大的怀疑。他在此之前做了大量的关于黑洞的工作,都是在经典广义相对论的框架中,所以有很多经验或不妨说是成见。他的怀疑导致他研究黑洞的热力学性质,从而最终导致他发现霍金蒸发并证明了贝肯斯坦的结果。应当说,1973年当他与巴丁(Bardeen James M)、卡特(Carter B)合写那篇关于黑洞热力学的四定律的文章时,他是不相信贝肯斯坦的。

不久,他发现了黑洞的量子蒸发,从而证明黑洞是有温度的。简单地应用热力学第一定律,就可以导出贝肯斯坦的熵公式,并可以定出公式中的无量纲系数。由于霍金的贡献,人们把黑洞的熵又叫成贝肯斯坦.霍金熵。霍金的最早结果发表在英国的《自然》杂志上,数学上更完备的结果后来发表在《数学物理通迅》。在简单解释霍金蒸发之前,我们不妨提一下关于中文中熵这个字的巧合。在热力学第一定律的表述中,有一项是能量与温度之比,也就是商,所以早期翻译者将entropy翻译成熵。黑洞的熵恰恰也是两个量的商,即视界面积和普朗克长度的平方。

霍金蒸发很像电场中正负电子对的产生,而比后者多了一点急转弯(twist)。在真空中,不停地有虚粒子对产生和温灭,由于能量守恒,这些虚粒子对永远不会成为实粒子R如果加上电场,而虚粒子对带有电荷,正电荷就会沿着电场方向运动,负电荷就会沿着电场相反的方向运动,虚粒子对逐渐被拉开成为实粒子对。电场越强电子对的产生几率就越大。现在,引力场对虚粒子对产生同样的作用,在一对虚粒子对中,一个粒子带有正能量,另一个粒子带有负能量。在黑洞周围,我们可能得出一个怪异的结论:由于正能被吸引,所以带有正能的粒子掉入黑洞,而带有负能的粒子逃离黑洞,黑洞的质量变大了。事实是,在视界附近由于引力的作用正能粒子变成负能粒子,从而可能逃离黑洞,而负能粒子变成正能粒子,从而掉进黑洞。对于远离黑洞的人来说,黑洞的质量变小了:对于视界内的观察者来说,掉进黑洞的粒子具有正能量也就是实粒子。黑洞物理就是这么离奇和不可思议。

霍金蒸发是黑体谱,其温度与史瓦兹希尔德半径成反比,黑洞越大温度就越小,所以辐射出的粒子的波长大多与史瓦兹希尔德半径接近(这很像我们上面推导贝肯斯坦熵时用的光子〉。当辐射出的粒子变成实粒子后,它们要克服引力作用到达无限远处,所以黑体谱被引力场变形成为灰体谱。霍金在《时间简史》中坦承,当他发现黑洞辐射时,他害怕贝肯斯坦知道后拿来支持他的黑洞熵的想法。

黑洞的量子性质无疑是广义相对论与量子论结合后给量子引力提出的最大的挑战。我们虽然可以用霍金蒸发和热力学第一定律推导出黑洞熵,这并不表明我们己理解了黑洞熵的起源。最近弦论的发展对理解一些黑洞熵起了很大的作用,但我们还没有能够理解史瓦兹希尔德黑洞的熵。另外,黑洞蒸发后遗留下来的是一个量子纯态还是一个混合态,就像黑体谱一样?如果是后者,那我们就不得不修改量子力学。

在很长一段时间内,许多人包括霍金本人认为黑洞蒸发的结果是一个混合态,所以量子力学在黑洞的存在下需要修改,因为在量子力学中一个纯态的演变永远是一个纯态。研究粒子物理的人很不喜欢这个想法,因为在粒子物理中,不论一个系统如何复杂,量子力学总是正确的。特别是上世纪末获得诺贝尔奖的特霍夫特(Hooft G't)不相信这个结论。从80年代初期,他就一直研究黑洞物理。另一个粒子物理学家,沙氏金(Susskind L),也认为黑洞物理不破坏量子力学。他认识到,如果不破坏量子力学,我们就要引进一些非常奇特的物理概念。例如,他在1994年引入了量子重力的全息原理,而特霍夫特在前一年也引入了这个原理。

全息原理声称,如果要描述三维空间中的量子重力,我们不需要整个主维空间,两维空间就足够了。这个展理的来源就是黑洞物理。

自由度是一个基本理论的重要性质。在场论中,给定一个空间体积,原则上没有对自由度的任何限制。场论中的紫外发散的来源就是因为任意高能或者任意小的空间都有自由度。当引力介入,自然的想法是普朗克长度带来距离上的限制,理论有一个紫外截断。紫外截断的引入使得一定空间体积中的自由度成为有限,很类似将连续的空间变成格子,所以自由度的个数与体积成正比。普通热力学也支持这种看法,因为一般地说能量是一个空间上的延展量,也就是说能量与体积成正比。给定一个体积和一个紫外截断,最大的能量的载体是一个达到普朗克能标的量子。将最小能量的量子到最大能量的量子加起来,熵也与体积成正比,从而也是一个空间上的延展量。

贝肯斯坦曾经考虑一个问题:给定一个系统的尺度(假定三个空间方向上的尺度一样大)以及一个能量,该系统最大可能的熵是多少?如果没有引力介入,或者引力的作用是微弱的,他的结论是,熵的上限是系统的尺度乘以系统的能量。这看起来似乎与前面说的熵是空间上的延展量矛盾,因为假如能量与体积成正比,贝肯斯坦熵的上限就与尺度的四次方成正比。其实这里没有矛盾,因为我们还没有计及引力的作用。当引力存在时,贝肯斯坦上限依然有效,但能量不再是空间上的延展量。

这就是黑洞的作用。能量足够大,引力使得整个系统成为不稳定系统,系统塌缩形成黑洞。我们知道,黑洞的能量,也就是质量,与视界半径成正比。将这个结果带入贝肯斯坦公式,我们发现,熵的上限与系统尺度的平方成正比,也就是和黑洞的视界面积成正比,这就是贝肯斯坦—霍金熵公式。

这是很奇怪的结论,黑洞的作用使得我们通常的微观直觉失效,从而恼不再是空间延展量。由于黑洞本身是宏观的,所以这个结论与空间的最小截断无关。我们看到,黑洞的存在揭示量子引力的一个反直觉的性质,微观与宏观不是独立的,体系的基本自由度与宏观体积有关。

由于贝肯斯坦—霍金熵公式中出现普朗克长度,直观上黑洞视界似乎是一个网,每个网格的大小是普朗克长度。如果我们相信量子力学在黑洞物理中依然有效,那么黑洞内部的所有可能为外部观察者看到的自由度(通过霍金蒸发等过程)完全反应在视界上。特霍夫特在1993年猜测,这是一个全息效应,不但黑洞本身,任何一个系统在量子力学中都可以由其边界上的理论完全描述。1994年沙氏金将这个猜测提升为一个原理,任何含有引力的量子系统都满足全息原理。沙氏金还提供了一些支持这个原理的直观论证。

虽然特霍夫特本人有一段时间致力于构造类似元胞自动机模型(cellular automaton),试图实现全息原理,在很长的一段时间内很少有人将这个原理当真,直到1997年底和1998年初,情况才彻底改变。

促成改变的原始文章是马德西纳的著名文章,出现于1997年11月份。在1998年2月份之前,人们对这篇文章的普遍看法是,想法很大胆,但肯定是错的。时至今日,马德西纳的文章己成为弦论中引用率最高的文章。

马德西纳猜想经常被叫做反德西特/共形场论对偶,因为他的猜想说,一定的反德西特空间上的量子引力,准确地说,弦论或者M理论,对偶于比反德西特空间维度更低的共形场论。举例来说,五维反德西特空间上的弦论对偶于四维N等于四超对称规范理论。

反德西特空间是一个有着负常曲率的空间,上面的对称群和低于这个空间一个维度的闵氏时空的共形对称群完全一样,后者是闵氏空间中的可能有的最大对称群。由于对称性的关系,反德西特空间上的量子重力才可能等价于低一维的平坦时空中的量子场论。无疑,如果这个猜测是正确的,这个对偶性是全息原理的直接实现。

马德西纳猜想已经通过了人们能够做到的各种检验。应该说,虽然我们还没有一个完全的证明,今天几乎没有人再怀疑这个猜测的正确性。这个猜测之所以可能正确,最大的证据直接来自于弦论物理。其实,马德西纳猜测中的量子引力,就是弦论。他的猜测基于1998年前弦论中的许多重要发展,如D膜、用D膜构造的黑洞以及矩阵理论。

其实,斯特劳明格(Strominger A)和瓦法(Vafa C)在1996年就用D膜构造了一个特殊的五维黑洞。他们发现,D膜上的开弦激发态完全可以用来计算黑洞的熵。不但如此,如果给这个黑洞一点温度,D膜上开弦湮灭成闭弦的过程可以看作是震金蒸发。这个进展说明弦论的确是一个正确的量子引力理论。

由于这个进展,霍金不仅开始相信弦论,同时他还放弃过去认为黑洞要求修改量子力学的想法。尽管弦论中的黑洞研究取得很大的进展,尽管马德西纳猜测将全息原理推进了一大步,我们至今还不能理解最简单的黑洞:史瓦兹黑洞。可以预见,任何在理解史瓦兹黑洞方面取得的突破闰时会带来量子引力以及弦论研究的突破。

最近的宇宙学观测表明,存在着与宇宙的总能量密度相当的一种暗能量,使得我们的宇宙正在加速膨胀。这种暗能量只有在一个量子引力理论中才能得到解释。许多人认为,这种暗能量的起源极有可能和全息原理相关,从而与黑洞的量子物理相关。无疑,对黑洞的量子性质的深入理解会带给我们对暗能量的理解。

李淼,1990年在哥本哈根大学的玻尔研究所获得博士学位,研究量子场论、超弦理论以及宇宙学。先后在加州大学圣巴巴娜分校、布朗大学以及芝加哥大学做博士后研究员和研究助理教授。1999年回国,是中国科学院“百人计划”的入选者、基金委杰出青年基金获得者,曾任台湾大学客座教授。现为中国科学院理论物理研究所研究员、中国科学院交叉学科理论研究中心成员、中国科技大学客座教授。在超弦理论中的研究有一定的国际影响,特别是两维刘维尔理论、D膜以及黑洞的量子物理。文章的总引用率在1500次左右。最近致力于研究超弦中的黑洞物理、超弦宇宙学。他认为,早期宇宙学是用来实验检验超弦理论的最佳领域,近年来精确观测宇宙学的快速发展,已经对理论家提出前所未有的挑战。进一步的观测结果可能会揭示一些关于量子引力和超弦理论的信息。

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