已知函数f(x)=nx−xn,x∈R,其中n∈N∗,且n⩾2.⑴设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)⩽g(x);⑵若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1 x2,求证:|x2−x1|
⑴f′(x)=n−nxn−1设P(x0,0),所以x0=n1n−1,f′(x0)=n−n2,故g(x)=f′(x0)(x−x0)=(n−n2)⎛⎜⎝x−n1n−1⎞⎟⎠定义F(x)=f(x)−g(x)=−xn+n2x+(n−n2)n1n−1,F′(x)=−nxn−1+n2易得F(x)在(0,x0)单增,(x0,+∞)单减,所以最大值为F(x0)=F⎛⎜⎝n1n−1⎞⎟⎠=0故f(x)⩽g(x)⑵不妨设x1
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