双缝态 = a×缝1 + b×缝2
薛定谔理想实验中的猫,也可以写成叠加态的形式:猫态 =a×活猫 + b×死猫。如果在实验中我们知道:a=0.8,b=0.6,那么,打开盖子时,活猫的几率是0.82=0.64,而死猫的几率是0.62=0.36。
诸如缝1、缝2、活猫、死猫,都是'本征态’。根据公式(1)可以看出:叠加态是普遍的大多数,而'本征态’只代表“a=1,b=0”或者“a=0,b=1”的少数极端情况。如果一个粒子处于本征态,那么它的测量结果是确定的(几率=1)。因此,本征态又被称定态。
定态是确定性的,只有叠加态才表现出量子力学'既在这、又在那’的诡异特征。因此,叠加态的存在是量子力学最大的奥秘,是量子现象给人以神秘感的根源,也是我们了解量子力学的关键。
如何表示'纠缠态’?可以从两个粒子的纠缠着首。现在有两个粒子A和B,它们分别都有两种定态0、1(A1 、A0和B1 、B0)。因此,它们的单粒子定态可以组成4种双粒子定态:
A1B1, A1B0, A0B1, A0B0
类似于1个粒子的情形,这4种定态可以线性组合成许多混合叠加态。这些叠加态可以分成两大类:纠缠态和非纠缠态。如果一个双粒子叠加态可以写成各自粒子状态的(张量)乘积的话,就是非纠缠态,例如下面是一个非纠缠态的例子:
非纠缠态例子 =A0B0 - A0B1 + A1B0 - A1B1 = (A0 + A1)×( B0 - B1)
它可以写成第一个粒子的叠加态(A0 + A1)和第二个粒子的叠加态:(B0 - B1)之乘积形式。
注意,上面的几个表达式略去了几率归一化的系数a和b,以下仍将略去不写。
下面这几种双粒子叠加态:
纠缠1 = A0B1 - A1B0 (2)
纠缠2 = A0B1 + A1B0 (3)
纠缠3 = A1B1 - A0B0 (4)
纠缠4 = A1B1 + A0B0 (5)
它们在数学上无法表达成单个粒子状态的乘积。也就是说,两粒子的物理状态纠缠在一起,不可分开。一个的状态决定了另一个的状态。
由两个定态A0B1和A1B0组成的叠加态,在测量之前,按照正统诠释叫做:“既是A0B1,又是A1B0”。一旦测量任何一个,比如测量A,A的状态立即塌缩成0或者1,它们的几率各半。然而,在测量A的瞬时,怪事发生了:B没有被测量,它却同时塌缩到与A相反的状态,即使这个时候A、B已经相距很远很远。
除了上述4种纠缠态之外,还有很多种纠缠态。纠缠态是多粒子量子系统中的普遍形式。上面(2)-(5)这4种特殊纠缠态,被称之为贝尔态。
薛定谔的猫猫态并不是简单的死猫和活猫的叠加态,而应该写成'猫’和实验中'放射性原子’两者的纠缠态:
猫和原子纠缠态 = 活猫×原子未衰变 + 死猫×原子衰变
盒子打开之前,总状态不确定,是定态1和定态2的混合。盒子打开,总状态塌缩到两个定态之一,几率各半(不同于前面a=0.8、b=0.6的情况)。
贝尔不等式是用经典概率方法导出的,所以经典孙悟空的行为一定受限于这个不等式。量子孙悟空又如何呢?简单的理论推导可以证明:量子孙悟空的行为是违背贝尔不等式的。
在贝尔不等式|Pxz-Pzy|≤ 1+Pxy中,x、y、z不一定需要构成3维空间的正交系。比如它可以取位于同一个平面上的三个方向,依次成60度的角。这样就有:
Pxz = Pxy = -cos60° = -1/2, Pzy = -cos120° = 1/2
代人贝尔不等式左边为:|-1/2-1/2| = 1;代人贝尔不等式右边则为:1-1/2 = 1/2。因此,对量子力学的这种情况,贝尔不等式不能成立。
从理论上分析,量子理论已经违背了贝尔不等式,实验结果又如何?上世纪的70年代初,一个年轻人走进了哥伦比亚大学“吴夫人”(美籍华人物理学家吴健雄)的实验室,向吴夫人请教20多年前,她和萨科诺夫第一次观察到纠缠光子对的情况。那是在正负电子湮灭时产生的一对高能光子。吴夫人没有太在意年轻学生提出的问题,只让他(她)们的研究生卡斯蒂谈了谈。这位年轻人叫克劳瑟,出生于加里福利亚的物理世家,从小就听家人们在一起探讨争论深奥的物理问题。他进了加州理工大学之后,受费曼影响开始思考量子理论中的关键问题。他把自己的一些想法和费曼讨论,并告诉费曼他要用实验来测试贝尔不等式和EPR佯谬。
贝尔定理和贝尔不等式被誉为“物理学最重要的进展”之一。之后贝尔不等式被一个美国物理学家四人小组(CHSH)的工作所改良,称为CHSH不等式。这四个人是克劳瑟、霍恩、西摩尼、霍尔特,克劳瑟就是其中之一。他们果然成为CHSH-贝尔不等式实验验证的第一人。
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