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物理学家告诉你走近量子纠缠(8):纠缠态及实验
(科学网张天蓉博客,收藏有删减)

​                    走近量子纠缠(8)纠缠态及实验
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此前所谈量子纠缠和贝尔不等式都是EPR佯谬简化的波姆版,只用了两个不同的自旋来表述量子态。描述量子要应用希尔伯特空间,单个粒子的量子态只对应2维的希尔伯特空间,两个粒子的纠缠态对应4维的希尔伯特空间。爱因斯坦等人是用两个粒子的位置及动量来描述粒子之间的“纠缠”,其描述和推导都非常复杂。在实际的物理理论和实验中,两种方法都会用到,被分别称为“离散变量”和“连续变量”的纠缠态。
​    为简单起见,大多数时候都用电子自旋来描述量子态。一个粒子的自旋量子态,对应于2维的希尔伯特空间,这个希尔伯特2维空间与我们生活中的2维空间不一样,它是表示量子态的空间。一个量子态就是对应于希尔伯特空间的一个矢量。著名的英国物理学家狄拉克为量子态空间定义了一套十分优雅的符号系统,比如,他用|+﹥|-﹥这两个符号表示粒子自旋的两个基本状态。
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【有些非物理专业的人士对这种狄拉克符号很反感,说是看见就晕。以下暂时舍弃狄拉克算符,仍用通俗的数学语言,来叙述量子态。】
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S1S0表示两个不同的量子态,或者说,用它们分别表示'上’、'下’这两种不同的基本自旋态。这里S1S0是两个'纯本征态’,'纯’是相对于'叠加’而言的,意味着一个粒子的'叠加态’,可以写成两个'本征态’的线性混合叠加:
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叠加态 = a×S1 + b×S0                       1
ab是满足(|a|2+|b|2=1)的复数,它们对应于两个本征态在叠加态中所占的比例系数。当a=0,或者b=0时,叠加态就简化成两个本征态。两个比例系数的平方:|a|2|b|2分别代表测量时测得粒子的状态是S1S0的几率。
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在杨氏双缝实验中,电子或光子位置的叠加态可以写成:

                 双缝态 1 + b×2
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薛定谔理想实验中的猫,也可以写成叠加态的形式:猫态 活猫 + b×死猫。如果在实验中我们知道:a=0.8b=0.6,那么,打开盖子时,活猫的几率是0.82=0.64,而死猫的几率是0.62=0.36
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诸如1、缝2、活猫、死猫,都是'本征态’。根据公式(1可以看出:叠加态是普遍的大多数,而'本征态’只代表“a=1,b=0或者“a=0,b=1的少数极端情况。如果一个粒子处于本征态,那么它的测量结果是确定的(几率=1)。因此,本征态又被称定态
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定态是确定性的,只有叠加态才表现出量子力学'既在这、又在那’的诡异特征。因此叠加态的存在是量子力学最大的奥秘,是量子现象给人以神秘感的根源,也是我们了解量子力学的关键。
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如何表示'纠缠态’?可以两个粒子的纠缠首。现在有两个粒子AB,它们分别都有两种定态01A1 A0B1 B0)。因此,它们的单粒子定态可以组成4种双粒子定态:
​               
A1B1,  A1B0,  A0B1,  A0B0

    类似于1个粒子的情形,这4种定态可以线性组合成许多混合叠加态。这些叠加态可以分成两大类:纠缠态和非纠缠态。如果一个双粒子叠加态可以写成各自粒子状态的(张量)乘积的话,就是非纠缠态,例如下面是一个非纠缠态的例子

        非纠缠态例子 A0B0 - A0B1 + A1B0 - A1B1 = (A0 + A1)×( B0 - B1)
它可以写成第一个粒子的叠加态(A0 + A1)第二个粒子的叠加态:(B0 - B1)之乘积形式。

    注意,上面的几个表达式略去了几率归一化的系数ab,以下仍将略去不写。
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下面这几种双粒子叠加态:

              纠缠1 = A0B1 - A1B0                           2
​              
纠缠2 = A0B1 + A1B0                           3

              纠缠3 = A1B1 - A0B0                           4

              纠缠4 = A1B1 + A0B0                           5

它们在数学上无法表达成单个粒子状态的乘积。也就是说,两粒子的物理状态纠缠在一起,不可分开。一个的状态决定了另一个的状态。
​   
由两个定态A0B1A1B0组成的叠加态,在测量之前,按照正统诠释叫做:“既是A0B1又是A1B0”。一旦测量任何一个,比如测量AA的状态立即塌缩成0或者1,它们的几率各半。然而,在测量A的瞬时,怪事发生了:B没有被测量,它却同时塌缩到与A相反的状态,即使这个时候AB已经相距很远很远。
​   
除了上4种纠缠态之外,还有很多种纠缠态。纠缠态是多粒子量子系统中的普遍形式。上面(2-5)这4种特殊纠缠态,被称之为贝尔态。
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薛定谔的猫猫态并不是简单的死猫和活猫的叠加态,而应该写成'猫’和实验中'放射性原子’两者的纠缠态:

             猫和原子纠缠态  活猫×原子未衰变 死猫×原子衰变

盒子打开之前,总状态不确定,是定态1和定态2的混合。盒子打开,总状态塌缩到两个定态之一,几率各半(不同于前面a=0.8b=0.6的情况)。
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贝尔不等式是用经典概率方法导出的,所以经典孙悟空的行为一定受限于这个不等式。量子孙悟空又如何呢?简单的理论推导可以证明:量子孙悟空的行为是违背贝尔不等式的。
​在贝
尔不等式|Pxz-Pzy| 1+Pxy中,xyz不一定需要构成3维空间的正交系。比如它可以取位于同一个平面上的三个方向,依次成60度的角。这样就有:

        Pxz = Pxy = -cos60° = -1/2Pzy = -cos120° = 1/2

代人贝尔不等式左边为:|-1/2-1/2| = 1;代人贝尔不等式右边则为:1-1/2 = 1/2。因此,对量子力学的这种情况,贝尔不等式不能成立。

从理论上分析,量子理论已经违背了贝尔不等式,实验结果又如何?上世纪的70年代初,一个年轻人走进了哥伦比亚大学“吴夫人”(美籍华人物理学家吴健雄)的实验室,向吴夫人请教20多年前,她和萨科诺夫第一次观察到纠缠光子对的情况。那是在正负电子湮灭时产生的一对高能光子。吴夫人没有太在意年轻学生提出的问题,只让他(她)们的研究生卡斯蒂谈了谈。这位年轻人叫克劳瑟,出生于加里福利亚的物理世家,从小就听家人们在一起探讨争论深奥的物理问题。他进了加州理工大学之后,受费曼影响开始思考量子理论中的关键问题。他把自己的一些想法和费曼讨论,并告诉费曼他要用实验来测试贝尔不等式和EPR佯谬。
​    贝尔定理和贝尔不等式被誉为“物理学最重要的进展”之一。之后贝尔不等式被一个美国物理学家四人小组(
CHSH)的工作所改良,称为CHSH不等式。这四个人是克劳瑟、霍恩、西摩尼、霍尔特,克劳瑟就是其中之一。他们果然成为CHSH-贝尔不等式实验验证的第一人。

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