作者：张天蓉
1925年，奥地利物理学家薛定谔（Schrödinger，1887-1961）尚未建立量子力学波动方程的时候，他曾受德拜之邀在苏黎世作了一个介绍德布罗意“物质波”的精彩演讲。
薛定谔出生于奥地利维也纳。这里是世界著名的音乐之乡，也是科学人才辈出的地方。除了被称为量子达人的泡利和被称为风流才子的薛定谔之外，还有发现多普勒效的多普勒、著名哲学兼物理学家马赫、研究统计物理的玻尔兹曼、原子物理学中的女中豪杰迈特纳等，他（她）们也都诞生于奥地利，此外还有发现豌豆遗传规律的孟德尔等。
薛定谔于1906-1910年在维也纳大学物理系读完成大学学位。他受玻尔兹曼科学思想的影响颇深，从事气体分子运动论和统计力学方面的研究，着重于物理学中连续物质的本征值问题。1921年，他受聘到瑞士苏黎世大学任数学物理教授，继续研究与气体分子运动论相关的问题。
爱因斯坦对薛定谔的工作很感兴趣。正是薛定谔走马上任苏黎世大学任教的时候，玻色与爱因斯坦提出了一种简并气体的新的统计方法。薛定谔对玻色-爱因斯坦统计的思想很不理解，特地写信给爱因斯坦与他进行讨论。往后的几年间，他们有多次信件来往。1924年，薛定谔写了一篇有关气体简并与平均自由程的文章，详细评述了理想气体熵的计算问题。爱因斯坦对他的文章作了高度评价，并将德布罗意波的想法介绍给薛定谔：“一个物质粒子或物质粒子系可以怎样同一个（标量）波场相对应，德布罗意先生已在一篇很值得注意的论文中提出了”。薛定谔在回信中表示说他 “怀着极大的兴趣拜读了德布罗意的独创性的论文，并且终于掌握了它。”由此可见，薛定谔之所以在苏黎世作介绍德布罗意波的演讲，与爱因斯坦的直接引路不无关系。
薛定谔在苏黎世的演讲非常成功，他的精采报告激起了听众的极大兴趣，也使他本人开始思考如何建立一个微分方程来描述 “物质波”。当时主持会议的德拜教授也问过薛定谔：“物质微粒既然是波，那有没有波动方程？”薛定谔意识到这的确是个问题，也是自己的一个大好机会。一旦建立了波动方程应用于原子中的电子上，就可以结合玻尔模型来描述氢原子内部电子的物理行为，解释索末菲模型的精细结构。
薛定谔综合玻色、爱因斯坦、德布罗意的思想，首先对自己研究气体（分子）理论的工作做了一个总结，于1925年12月15日发表了一篇题为《论爱因斯坦的气体理论》的文章，运用德布罗意的理论分析了自由粒子的运动。显而易见，下一步的工作便是将德布罗意的理论用来研究最简单的束缚态粒子——氢原子中的电子。不过薛定谔也明白，那不是像自由粒子运动那么简单，首先需要要建立一个方程。可是12月15日发表了文章，圣诞节的假期也来了。风流倜傥的薛定谔正好碰见了早期交往过的一位神秘女友，两人旧情复发，相约去白雪皑皑的阿尔卑斯山上度假去了。
风流才子果然名不虚传。没料到美丽的爱情居然大大激发了薛定谔的科学灵感，著名的薛定谔方程横空出世。
1926年的1月、2月、5月、6月，薛定谔接连发表了4篇论文。与此同时，他在3月和4月还穿插发表了另外两篇相关的重要文章。这一连串射出的6发“炮弹”，正式宣告了波动力学的诞生。
第一篇论文是《量子化是本征值问题I》。他将量子化的实质归结于数学上的本征值。他在大学期间深入研究过连续介质的本征值问题，在这儿派上了用场。“玻尔-索末菲量子化条件”并不是什么需要人为规定的东西，而实际上是求解势阱中本征值所自然得到的结论。薛定谔根据这个思想建立了氢原子的定态薛定谔方程并求解，给出氢原子中电子的能级公式，计算氢原子的谱线，得到了与玻尔模型及实验符合得很好的结果。
第二篇论文是《量子化是本征值问题II》。他从含时的哈密顿-雅克比方程出发，建立一般的薛定谔方程，讨论了方程的求解，并通过经典力学和几何光学的类比以及物理光学到几何光学过渡，阐述了他建立波动力学的思想，解释了波函数的物理意义。
为了探求描述电子波粒二象性的动力学方程，薛定谔很自然地从经典物理中寻找对应。电子作为经典粒子，是用牛顿定律来描述的，如何描述它的波动性？在经典力学中，除了用牛顿力学方程之外，还有另外几种等效的表述方式，它们可以互相转换，都能等效地描述经典力学。其中，经典的哈密顿-雅可比方程与波动最接近，因为这个方程的提出就是为了将力学与光学作类比。
图：薛定谔方程的导出
3月的文章《微观力学到宏观力学》，主要是阐明量子力学与牛顿力学之间的联系。4月的文章《论海森伯、玻恩、约当量子力学和薛定谔量子力学的关系》，从特例出发，证明了矩阵力学与波动力学可以相互变换。
5、6月的两篇文章分别建立了定态及含时的微扰理论及其应用。
从薛定谔方程的建立过程看，有如下几个要点：
1). 定态问题就是求解一定边界条件下的本征方程，以此来计算原子中电子的能级；
2). 经典力学的哈密顿-雅克比方程不但可以描述粒子的运动，也可以用来描述光波的传播，因而可以将其推广到建立电子的量子波动方程；
3). 根据德布罗意位相波理论，电子可以看成一种波，反映其粒子性的动量、能量与其相应的波长、频率的关系，由德布罗意-爱因斯坦公式给出。
薛定谔综合这些要点，导出了薛定谔方程，其中关键的物理思想来自于德布罗意物质波的启示，其间爱因斯坦也起了重要作用。因此，人们认为爱因斯坦是波动力学的主要“推手”。
从上图可以看出，经典力学是量子力学的“零波长极限”，也就是当普朗克常数h趋于0时的极限。普朗克常数h在这儿又出现了，它是量子的标志。
薛定谔方程和哈密顿-雅可比方程都是偏微分方程，公式中将时间的偏导数明显地写成了时间微分算符的形式。经典方程中的算符是(∂/ ∂t)，薛定谔方程中的算符中则多了一个乘法因子（-ih，这里h另有一横），是虚数i和约化普朗克常数h(=h/2p)的乘积。这儿h表征量子，h数值很小，因而薛定谔方程只在微观世界才有意义。虚数i，则代表了波动的性质。对于对波动而言，每一个点的“运动”不但有振幅，还有相位。相位便会将复数的概念牵扯进来。
因此，薛定谔方程将普朗克常数、复数、还有算符结合一起，这三者构成新量子论之数学要素。算符对量子尤其重要，因为在量子理论中，粒子的轨道概念失去了意义，原来的经典物理量均被表示为算符。
所谓算符，即运算符号，它并不神秘。实际上，一般的函数和变量，都可以算是算符，矩阵是不对易的算符的例子，前面提到的(∂/ ∂t)是大家所熟悉的微分算符，也就是微分。微分算符通常作用在函数上，将一个函数作微分变成另一个函数。量子力学中的微分算符作用在系统的量子态（波函数）上，将一个量子态变成另一个量子态。
下表列出了一部分常见的量子微分算符：
从算符的角度看，薛定谔方程看起来只是个简单的恒等式：左边是算符(ih∂/ ∂t)作用在波函数上，右边等于算符H作用于同一波函数上。能量算符H描述系统的能量，在具体条件下有其具体的表达式。一般来说，量子系统的能量表达式可以从它所对应的经典系统的能量公式得到，只需要将对应的物理量代之以相应的算符就可以了。比如说，一个经典粒子的总能量可以表示成动能与势能之和：
E = p2/2m + V
将总能量表达式中的动量p及势能V，代之以相应的量子算符，就可得到这个粒子（系统）对应的量子力学能量算符。然后，将此总能量算符表达式作用在电子的波函数上，于是一个单电子的薛定谔方程便可以被写成如下具体形式：
上述薛定谔方程是“非相对论”的，因为这是从粒子“非相对论”的能量动量关系出发所得到的。也正因为如此，薛定谔方程有一个不足之处：它没有将狭义相对论的思想包括进去，只能用于非相对论的电子，也就是只适用于电子运动速度远小于光速时的情形。考虑相对论，粒子的总能量关系式应该是：
E2 = p2c2 + m2c4
薛定谔曾经试图用上述相对论总能量公式来构建方程，但因为其左边是E的平方，相应的算符便包含对时间的2阶偏导，这样构成的方程实际上就是后来的克莱因-高登方程。鉴于此，薛定谔没有得到令人满意的结果（会连代出现所谓负数几率的困惑）。之后，狄拉克解决了这个问题。
薛定谔方程是薛定谔对量子力学的最大贡献，但广大民众熟知薛定谔的是一部有关他的舞台浪漫喜剧《薛定谔的女朋友》，而有关量子力学的科普则经常讲到 “薛定谔的猫”。
所谓薛定谔的猫，是薛定谔1935年在一篇论文中提出的一个佯谬，也被称为“薛定谔佯谬”。这是一个思想实验。
薛定谔1926年创立的薛定谔方程，成功地解出了氢原子的波函数，这是一个十分难得、非常美妙的解析解。它比玻尔模型更为精确地解释了实验中得到的光谱数据及精细结构常数，虽然要再找其它更多的解析解难之又难，但对氢原子的成功使人们相信新量子论，即量子力学的正确性。
电子既是粒子，又是波。粒子的运动规律用牛顿定律描述，“粒子波”的运动规律用薛定谔方程描述。牛顿方程的解：x(t)，是空间位置x随时间变化的一条曲线，显示粒子在空间运动的轨道。薛定谔方程的解：y(x,t)，是一个空间及时间的复数函数“波函数”。牛顿经典轨道x(t)只是一条线，量子波函数解y(x,t)却弥漫于整个空间。
但是，粒子的轨道概念容易被人接受，而对波函数的解释却众说纷纭。因此，尽管有了波函数，对它的解释却成了一个问题。薛定谔自己曾经想把它解释为电荷的分布函数，可是这个想法连他自己都觉得不现实。
在对量子论的态度上，薛定谔与普朗克和爱因斯坦有类似之处，他们都是量子思想的奠基者，但又是被经典哲学牢牢捆住的“老顽固”。他们在科学处女地垦殖（植）出来的果实，反过来又狠狠地给他们的脑袋重重一击，脑海中固有经典观念被敲得咚咚响。
薛定谔在爱氏的推动下建立了波动力学并解出了波函数，但他们却又接受不了玻恩、玻尔等提出的概率解释以及“哥本哈根诠释”。如果按他们所说的理解波函数，那么为什么微观叠加态的特点与宏观规律是如此不同？薛定谔等物理学家想不通。1935年，薛定谔发表了一篇题为《量子力学的现状》的论文，文中的第5节设计了一个思想实验，他把量子力学中的反直观效果转嫁到日常生活中的事物上来，试图将微观不确定性变为宏观不确定性，微观的迷惑变为宏观的佯谬。也就是说，将微观世界中叠加态概念转嫁到“猫”的身上，如此就导致一个荒谬的结论：一只现实世界中不可能存在的“又死又活”的恐怖的猫。
薛定谔的本意是不赞成玻尔等对量子物理的统计解释，想不到反而成了向大众科普量子论及其哥本哈根诠释的工具。按照量子理论：装有猫的盒子如果没有揭开盖子观察，猫的状态是'死’与'活’的叠加，此猫将永远处于同时是死又是活的叠加态。这与经验严重相违：一只猫要么死要么活，怎么可能不死不活、半死半活呢？这个听起来荒谬的物理理想实验，却描述了微观世界的真实现象，不仅在物理学方面极具意义，在哲学方面也引申了很多的思考。
这只猫的确令人毛骨悚然，关于它的争论一直持续到今天。物理学家霍金曾经幽默地表示：“当我听说薛定谔的猫的时候，我就想去拿枪，干脆一枪把猫打死！”
在宏观世界中，既死又活的猫不可能存在，但许多的实验都已经证实了微观世界中叠加态的存在，以及被测量时叠加态的坍缩。现在，人们已经认识到微观现象与宏观确实不同。微观叠加态的存在是量子力学最大的奥秘，量子现象是带来神秘感的根源，当然也是我们了解量子力学的关键。
薛定谔还写过一本生物学方面的书和许多科普文章。1944年，他出版了《生命是什么》一书，发展了分子生物学，并提出了负熵的概念。他想通过物理的语言来描述生物学中的课题。发现DNA双螺旋结构的瓦森（James D. Watson）与克里克（Francis Crick）都曾表示是受到薛定谔这本书的影响。
科学界曾经有人说，在物理学家看来，视乎所有问题都是物理学的问题。其实这话并不是没有道理。物理学研究的是大自然的基本规律，大自然包括万物，既然生命体是大自然的一部分，那么从最基本的物理学定律考虑，涉及生命科学或其它自然科学也就理所当然了。
薛定谔是一位物理学家，他希望从物理学的角度去理解生命是什么。他认为物理学能够对理解生命的本质提供独特的启发。在薛定谔的时代，科学技术仅仅是能够识别染色体，人类还没有完全理解遗传的物质基础是什么，也不清楚DNA内部的遗传物质是核酸。薛定谔觉得物理学的研究方法一定能对理解生命的本质有帮助。《生命是什么》促进了物理生物学的发展，至今也还有一定的意义。
他在书中提出了 “负熵”的革命性观点。热力学第二定律认为熵增是一个自发的由有序向无序发展的过程，最终将归于热寂。然而，生命现象却能够生生不息，不断地做到从无序到有序。薛定谔的观点是，生命体处于一个开放状态下，不断地从环境中汲取“负熵”，使得有机体能成功地消除了当它自身活着的时候产生的熵。普利高津后来提出了“耗散结构”，试图解释无序如何能达到有序。现在这些仍然是热门的研究课题。
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